Доказать что найдется такое натуральное число n, что 3 в степени n будет оканчиваться цифрами 01.

3^n = A *100 +1 ; нужно найти n, чтобы число имело такой вид, то есть от деления на 100 получался остаток 1
100 = 2*2*5*5;
То что в показателе есть 4 – уже известно.
3^4 =(100-20 +1); Нам нужно найти k| 3^4^k =(100 - 20 +1)^k = A *100 +1;
100 в скобках можно отбросить, на остаток не влияет.
(1-20 )^k = 1 – 20*k + 20^2*k*(k-1)/2 + 20^3*k*(k-1)/3! + … (-1)^k*20^k*1;
Биномиальные коэффициенты все целые и члены с 20 в степени больше 1 делятся на сто.
Если 20*k делится на 100, задача решена. Очевидно, минимальное k = 5 удовлетворяет.
Далее, все числа вида 3^(s*20) при делении на 100 дадут остаток 1.
Есть теорема Эйлера из теории чисел : если а и m взаимно просты, то a^ phi(m) ==1 mod (m)
phi(100) = 40
Нашли меньшее число : 20.

прямые вычисления показывают что на 1 оканчиваются все степени 3 кратные 4, т. е. при n=4k 3^n=3^4k=81^k всегда оканчивается на 1. если 81^k оканчивается на 01, то это число имеет вид 81^k=1000y+100x+1, отсюда y=(8^k-1-1000x)/100=((81^k-1)/100)-10x, так как у и х целые, то (81^k-1)/100 должно быть целым, т. е. (81^k-1)=100t или 81^k=100t+1. минимальное значение к=5. 81^5=3^20=3 486 784 401

возьми любое 3-значное число вида x01
умножь его столбиком на само себя - получишь y01 (y - несколько цифр)
умножь еще раз на x01 - получишь z01