Естественные науки

Каким может быть НОД натуральных чисел m и n, если при увеличении числа m на 6, он увеличился в 9 раз? МГУ, Ломоносов ол

Этот НОД может равняться только 3 и 6.

Обозначим его х.
Что мы знаем из условия задачи?
1. m делится на x и (m + 6) делится на x (делится даже на 9x, но пока это не важно) , но т. к. если на какое-то число делится одно слагаемое и делится сумма, то должно делится и второе, то получаем, что 6 делится на x. Значит х может равняться 1, 2, 3 или 6.

2. n делится на 9x, а значит делится на 9 и тем более делится на 3. Точно так же (m + 6) делится на 9, следовательно и на 3. Значит и m делится на три. Получаем, что n делится на три, и m делится на 3, значит и их НОД делится на 3.

Таким образом имеем, что НОД должен быть не больше шести и при этом делится на три. Таких натуральных чисел только два: 3 и 6.

Остается проверить действительно ли оба этих числа могут быть НОДами для какой-то пары чисел так, чтобы удовлетворялось условие задачи.

Но действительно, если, например, m = 21, а n = 54, то их НОД = 3 и при увеличении m на 6 НОД увеличится в 9 раз (станет равным 27 для пары чисел 27 и 54).
Аналогично 6 является НОДом, например, для 48 и 54 (или, допустим, 48 и 270) и для чисел (48 + 6) и 54, т. е. 54 и 54 (или 54 и 270) НОД равен 54, что в 9 раз больше 6.

Итак мы получили, что НОД может равняться 3 и 6, и никаким другим числом быть не может.
*_
***mest_ _Sladka***
28 620
Лучший ответ

Похожие вопросы