Найти наименьшее натуральное число, оканчивающееся цифрой 9, которое увеличивается в 4 раза при перенесении его...

n = 10k + 9
Из условия следует, что
9*10^m + k = 4*(10k + 9) = 40k + 36
39k = 9*10^m - 36
13k = 3*10^m - 12

Решим в мультипликативной группе поля вычетов Z13
3*10^m = 12 (mod 13)
10^m = 4 (mod 13)
O(10) = 6 [порядок элемента группы], откуда m = 5 + 6i

Пробуем m = 5
9*100000 + k = 40k + 36 ==> k = 23076
n = 230769.
230769 * 4 - 923076 = 0, подходит, ура.

Очевидно, это минимальное из возможных чисел. Ради прикола найдем слудующее для m = 11
k = (3*10^11 - 12)/13 = 23076923076
230769230769 * 4 - 923076923076 = 0, тоже подходит, ура

АР

Александр Русинов

76 843

23.05.2017

*валентина* Темникова Хм, решение через группы. Вводный курс в теорию групп прослушал, но вот вникнуть настолько, что бы свободно ими орудовать не смог :(

Кстати не могу понять эту запись: O(10) = 6 [порядок элемента группы], откуда m = 5 + 6i
Не подскажите что это значит и почему из этого следует что m = 5 + 6i?

P.S. И там вроде не поле вычетов, а кольцо вычетов... Ведь операция деление выведет за пределы группы, там только умножать можно, а значит кольцо. Да и "мультипликативная группа поля вычетов" не гуглится, значит вероятнее всего такого и нету вовсе :)

Ольга Андреева Разрешите привести ваше внимание на https://otvet.mail.ru/question/200868468

Ольга Андреева привлечь

*валентина* Темникова Блин, Вы гляньте какой ответ автор выбрал лучшим :( Это капец... и помогай потом людям!

Разумеется на самом деле лучшим должен быть или мой или Ваш ответ, в зависимости от математических познаний автора (Ваш ответ красивее, но оценить эту красоту может не каждый, потому что не все в принципе поймут)

Голый результат признавать лучшим ответом - это что-то новенькое... он же мог вообще подбором прогнать... например на компе перебор поставить. Такое решение больше двух минут времени не займёт, а математики в нём вообще 0.

Answer 3 · 2017-05-23 11:08:42

10^n < x < 10^(n+1)
Тогда
y = (x - 9)/10 + 9*10^n = x/10 + 9*(10^n - 1/10)
y = 4*x

4x = x/10 + 9*(10^n - 1/10)
39/10 * x = 9*(10^n - 1/10)
x = 90/39 * (10^n - 1/10) = 30/13 * (10^n - 1/10) = 3/13 * (10^(n+1) - 1)

расшифруем что значит (10^(n+1) - 1) - это число состоящее из (n+1) девяток.
Значит нам надо найти такое наименьшее число состоящие из одних девяток, которое делится нацело на 13, а потом умножить его на 3/13.

На самом деле методом подбора решать задачи не люблю, потому что не считаю это решением, но тут не могу придумать механизм, как найти наименьшее число делящееся нацело на 13, потому придётся подобрать (возможно в комментарии допишу правильное решение, если придумаю как).

Итак, пробуем
9/13 = 0.69... -нет
99/13 = 7.61... -нет
999/13 = 76.84... -нет
9999/13= 769.15... -нет
99999/13 = 7692.23... -нет
999999/13 = 76923 - ДА! делится нацело.

Значит
x = 3/13 * 999999 = 230769

Светлана Светлана

42 958

23.05.2017

Светлана Светлана Дальше решение может быть похожим на решение Тадасана, только с меньшим количеством терминологии и требующее меньшего количества знаний (может быть осознано школьником, не требует знания теории групп, хотя разумеется основано именно на группах).

Вернёмся к тому моменту, где мы начали подбирать решение и пойдём по правильному пути.

Число (10^(n+1) - 1) делится на 13, а значит при делении 10^(n+1) на 13 получим остаток 1. Значит надо найти все такие числа 1000...000, которые при делении на 13 дают остаток 1

Для этого представим 10^(n+1) как 1*10^(n+1), так мы сможем делить на 13 единицу в столбик, и получая на очередном шаге остаток 1 считать что было найдено очередное подходящее число, и разумеется так как снова делим единицу - цикл повторится. Так мы узнаем, что n+1 = 6*k, k ∈ ℤ. УРА!:)

Ольга Андреева Разрешите привлечь ваше внимание на https://otvet.mail.ru/question/200868468