Почему если любое число умножить на 9, и полученный ответ сложить по цифрам получиться 9? 2345* 9=21105; 2+1+ 1+0+ 5=9

Если любое число умножить на 9, то результат обязательно будет делиться на 9 без остатка. Это, думаю, очевидно. Теперь вспомни признак делимости числа на 9: "Любое число делится на 9 тогда и только тогда, если сумма цифр делится на 9". Вот и получается, что если число делится на девять, то сумма цифр будет делиться на девять. А если продолжать искать сумму цифр дальше, то в конечном итоге придем к числу 9, т. к. оно единственное, которое делится на 9 среди цифр (напомню, цифры - это знаки с помощью которых записывают числа: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9).

Это то, что называют признаком Паскаля. Если действительно интересно, то попробуйте разобраться с описанием на Википедии

И, кстати говоря, 85*9=765, 7+6+5=18, 1+8=9.

например 11*9=99 но 9+9=18

Есть простенькая теорема, я ее в 5-ом классе проходил. Если число задано в виде a + 10*b + 100*c +..(etc), где (a + b+c + .) делится на 9 без остатка, то, отняв первое из второго, получим:
a + 10*b + 100*c +..-(a + b+c + .) = 9*b + 99*c + .то бишь полученное число делится на 9 без остатка. А поскольку изначальное число равно сумме двух делителей девятки, оно само им является.

Не обязательно. Например умножь на 85)))
Интересно, сколько идиотов ещё начали пробовать!