Как доказывается, что (n-1)/n (n € N) - несократимая дробь?

Можно методом от противного. Допустим, что на самом деле числа (n-1) и n имеют общий делитель. Этим делителем может являться только нечетное число (поскольку или (n-1) или n нечетное). Обозначим этот общий делитель d. Получаем:
d * a = n
d * b = n -1, где a и b натуральные числа, при этом обязательно разные.
Разница между числами (n-1) и n равна 1. То есть нам нужно число d умножить на два разных числа так, чтобы разность результатов произведения равнялась 1.
При умножении натурального числа (у нас это d) на другие натуральные числа результат всегда будет увеличиваться на само число d (операция умножения подобна операции суммирования одинаковых чисел). То есть, чтобы результат увеличился на 1, нужно чтобы число d было 1 (ибо все другие числа будут давать разницу минимум в 2). Однако при умножении 1 на любое другое натуральное число мы получаем 1. Значит, наше изначальное предположение неверно и (n-1) и n не имеют общего делителя, а значит дробь несократима.
Метод от противного это один из классических способов доказательства чего-либо в математике)

Сократимая дробь == n-1 и n имеют общий (собственный, т. е. >1) делитель,
n=rm, n-1= rm-1. и n-1=rk
rm=rk+1, или m=k+1/r;
То есть, найдётся целое число r >1 такое, что является делителем 1.
Для нечисел такие объекты существуют.
Можно опереться на то, что любое натуральное единственным способом представимо в виде n=rm+k

Вспомни основное свойство дроби. Нельзя чётное и нечётное числа одновременно разделить на одно и тоже число.
Там нет общего делителя