Докажите, что 9^(n+1) + 8n + 7 делится на 16 при всех натуральных n

по индукции.

при n = 0, 1 всё ок

индукционный переход:
9^(n+1) + 8n + 7 = 9*9^n + 8(n-1) + 7 + 8 = 9^n + 8(n-1) + 7 + (8*9^n + 8)

по индукционному предположению 9^n + 8(n-1) + 7 делится на 16
надо лишь разобраться с 8*9^n + 8.

это просто: 8*9^n + 8 = 8 * (9^n + 1), вторая скобка всегда чётная, так что всё выражение делится на 16

вот и всё.

9^(n+1) + 8n + 7= || m=n+1 не менее произвольное
=(8+1)^m+8m-1=
=summ+8m+1+8m-1=
=summ+16m
summ - разложение бинома, где степень 8 больше 1

Докажите, что:
9^k mod 16 = 1, если k - четное
9^k mod 16 = 9, если k - нечетное
Это значит, что при четном k:
9^k = 16 m + 1
При нечетном k:
9^k = 16 m + 9
А дальше в вашем выражении отдельно рассмотрите n четные и нечетные, там элементарно получится.

Вот тебе еще один школьный способ решения задачки практически "в лоб", по формулам сокращенного умножения. Если не помнишь формулу сокращенного умножения для a^n - b^n, то вспоминай формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии, 1 + 9 + итд + 9^n = (9^(n +1) - 1) / 8.

= 9^(n+1) - 1^(n+1) + 8n + 8 =
= (9 - 1)(1 + 9 + итд + 9^n) + 8n + 8 =
= 8*((1 + 9 + итд + 9^n ) + n + 1), а здесь уж несложно заметить, что множитель в скобочках, на который умножается восьмерка - четное число и при четных n, и при нечетных.

Ты уж сам реши, на чём тебе надрочиться сейчас полезно - на методе математической индукции, на формулах сокращенного умножения или на чём-то ещё.

Похоже на задачки что на вступительных в МГУ давали, в 60х.. Если очень надо, поищите по задачникам для поступающих в вузы. Я решение уже не помню. 25 лет прошло