Доказать, что n^5 - n делится на 5.

n^5-n = (n-1)·n·(n+1)·(n^2+1)

Если любой из первых трех сомножителей делится на 5, то вопросов нет.
Если же ни один из них на пять не делится, то возможны два варианта остатков при делении этих сомножителей на 5 (это последовательные числа) :
1) 1,2,3 т. е. n=5k+2, но тогда n^2+1 = 5·(5k^2+4+1) делится на 5
2) 2,3,4 т. е. n=5k+3, но тогда n^2+1 =5·(5k^2+6k+2) делится на 5

1^5 = 1 не делится на пять
2^5 = 32 не делится на пять
3^5 = 243 не делится на пять
4^5 = 1024 не делится на пять
6^5 = 7776 не делится на пять
7^5 = 16807 не делится на пять

Из приведенных выше соображений можно сделать вывод что n^5 делится на пять только если n делится на пять.

p.s. виноват не заметил что там еще есть -n

Но в этом случае тоже просто доказывается: опять же из приведенного выше примера видно что у числа n^5 последняя цифра совпадает с n (это при необходимости можно доказать записав возведение в степень как умножение в столбик пять раз) отняв n у нас всегда на конце получится ноль, а это значит что число делится на пять.

Высший разум (112095)
n^5-n = (n-1)·n·(n+1)·(n^2+1)

Если любой из первых трех сомножителей делится на 5, то вопросов нет.
Если же ни один из них на пять не делится, то возможны два варианта остатков при делении этих сомножителей на 5 (это последовательные числа) :
1) 1,2,3 т. е. n=5k+2, но тогда n^2+1 = 5·(5k^2+4+1) делится на 5
2) 2,3,4 т. е. n=5k+3, но тогда n^2+1 =5·(5k^2+6k+2) делится на 5