В N-ичной системе счисления число ABCABC обязательно делится на 7. При каком наименьшем N это возможно?

Не понял. Найти наименьшее натуральное N, при котором 7 | N^3 + 1?

Ну, наверное, если подсказка такая, то  N = 3.
Действительно, 1^3 + 1 на 7 не делится, 2^3 + 1 на семь не делится, а 3^3 + 1 можно не проверять - ты подсказал, что делится. Ладно, проверим, 28 на 7 делится.
ИТОГО: N = 3.

N**3+1 должен делиться на 7. Вводим р= 10-N. Тогда N**3+1= (10-р) **3+1= 1001-300р+30р**2-р**3= 1001-р (р**2-30р+300). Поскольку 1001 делится на 7, достаточно, чтобы р или р**2-30р+300 делился на 7. Значение р=7 (т. е. N=10-7= 3) удовлетворяет нас. Значит, остаётся проверить N=2 или р= 8. Имеем: 8**2-30*8+300= 124, что не делится на 7. Следовательно, минимальное значение N - это 3.

число АВСАВС в N-ичной системе имеет вид A*N^5+B*N^4+C*N^3+A*N^2+B*N+C=(N^3+1)(A*N^2+B*N+C). это число обязательно (при любых А, В и С) будет делиться на семь, если на 7 делится число (N^3+1). в частности при N=10, получаем указанное вами число 1001. установим может ли N быть меньше 10. допустим что N^3+1 кратно 7, тогда N^3+1=7t, где t какое-то натуральное число. тогда t=(N^3+1)/7=[(N+1)^3-3N(N+1)]/7=[(N+1)(N^2-N+1)]/7. t будет натуральным если или (N+1) делится на 7, или (N^2-N+1) делится на семь. очевидно что (N+1) делится на 7 при минимальном N=6. проверяем деление (N^2-N+1) на 7 при N<6, убеждаемся что это возможно при N=3 и N=5. ответ: минимальное N равно 3.

N=2
_