Как перевести число из десятичной системы в иррациональную систему счисления?

Разделить число на корень из двух. Получите ваше число в вашей системе счисления...

Общего решения не существует.

См. о многих вариантах в https://habr.com/ru/post/302178/

Там есть и о системе с основанием √2, но алгоритм в явном виде не выписан, хотя идею его построения там можно усмотреть.

Но составлять его весьма занудно, так что сам.

Прикольный вопросик... Но даже на него, как ни парадоксально, существует ответ.
Значит, что такое система счисления, вообще говоря? Это способ представить число А в виде суммы
А = a0*p^0 + a1*p^1 + a2*p^2 + .
где а0, а1 и т. д. - это цифры, представляющие число, начиная с младшего разряда (на практике порядок другой - младший разряд будет самой правой цифрой числа), р - основание системы счисления. Ясен пень, что число цифр до запятой, то есть сколько цифр будет в целой части числа, зависит от соотношения основания системы счисления и исходного числа, то есть будет равно целой части логарифма n по основании системы счисления плюс ещё одна цифра.
Что ещё нам понадобится: что цифры такого представления не могут превышать основания системы счисления. То есть для основания корень из 2 цифры будут 0 и 1 (следующее целое - 2 - уже превышает основание). Если б основание было пи, то цифры были бы 0, 1, 2, 3.
Ну а дальше рекурсия... Самый старщий разряд, понятное дело, - 1 (ну не ноль же, не может же число начинаться с нуля). Чтобы определить следующий разряд, надо отнять от исходного числа основание системы в уменьшенной на 1 степени, соответствующей старшинству старшего разряда, умноженное на соответствующую цифру (1; в общем случае может быть другая цифра). К примеру, если мы хотим представить 10 в системе с основанием корень из 2, то число цифр будет 7 (целая часть логарифма 10 по этому основанию = 6), соответственно отнимать надо корень из 2 в 6 степени. Получится 2.
Следующему разряду соответствует пятая степень основания. Ясен пень, что это больше остатка, так что следующая цифра - 0. Следующая опять 0. И следующая ноль (потому что корень из 2 в третьей степени всё ещё больше 2). А следующая цифра уже равне 1, потому что корень из 2 в квадрате равен 2. Окей, вычтем корень из 2 в квадрате (что соответствует весу этого разряда в числе) из того, что осталось, то есть из 2. Но это не последняя цифра, потому что есть ещё первый и нулевой разряды (самые младшие). Ну поскольку у нас в после последнего вычитания получился ноль, то остатние два разряда тоже нули.
Итого представление 10 в системе с основанием корень из 2 будет 1000100.

Не вижу проблем, раздели во дворе 0,5 литра на троих, и таки без конфликтов.