Можно ли иррациональные числа сделать конечными в других системах счисления

0,(3) - рациональное число.
В других системах счисления (для данного случая - с основаниями, кратными трем), позиционная запись дроби будет конечной.
Если видишь незнакомый или малопонятный термин - лучше найди ему определение и постарайся в него вникнуть. Ты допускаешь большое количество фактологических ошибок, из-за чего легко заблудиться в "трех соснах".

Можно - но не все одновременно. Только ОДНО для каждой системы - все остальные останутся "бесконечными".
Да ни к чему такая возня. "Бесконечно же не само число, а только его символьное представление. Какая тебе разница-то? Ты все равно это число не реализуешь в металле абсолютно точно, как бы там оно ни выглядело в цифрах. Например, в большинстве применений числа "Пи" тебе никогда в жизни не понадобится больше трех знаков после запятой. Так не один ли хрен, миллион их там на самом деле, или миллиард?

... три ирра могут дать одно рациональное
1\3 + 1\3 +1\3 = 1

1/3 не иррациональное число. И, например, 1/3 в троичной системе 0,1.
Но никто не мешает положить в основание системы счисления и корень из двух или даже трансцендентное число пи.

1/3 это всего лишь 1*3^(-1)
Зато 0 в экспотенциональной форме не представить

А если ещё глубже рассмотри параболу с её линией до которой одинаково из фокуса... ваще целые числа.. вместо иррациональных..

Ты не знаешь, что такое иррациональные числа. Посиди в школе, пока не наберешься знаний.

Как тут уже правильно сказали, 1/3 — рациональное число. По наивному определению, рациональное число — это такое, которое можно представить в виде отношения произвольного целого и произвольного не-ISO натурального (т. к. по ISO во множество натуральных включен ноль). Смотрим дробь 1/3: 1 из числителя — целое число, 3 из знаменателя — натуральное. Всё, это рациональное число.

Тут есть два подхода.

Первый подход — переход к системе счисления по иррациональным основаниям.

Существуют способы представления иррациональных чисел. Например, в угловых мерах: 1 оборот — это 2π, 360° — это тоже 2π, а π/2 — это 100 гон.

В музыковедении в теории темперации используются позиционно-непозиционные системы счисления по основаниям ¹²√1̅2̅ — 100 центов, интервал малой секунды, и √5̅ и ⁴√5̅ — в среднетоновом строе.

Непозиционно-позиционная система по основанию √2̅ связана с метрикой Чебышева (шахматной метрикой).

Финарная система счисления (т. е., по основанию φ) применяется в криптографии и подробно описана у Слоуна ("Phi numeral system") и Нотта ("Using Powers of Phi to represent Integers (Base Phi)").

В компьютерной технике для оценки представления эффективности разрядности в представлении чисел используется параметр Radix Economy. Есть несколько вариантов его представления. Если рассматривать его как асимптотическую логарифмическую характеристику, то для для тернарной (троичной) системы он будет b/ln(b) ≈ 2,7307, а у двоичной системы, соответственно, ≈2,8854 . Иными словами, чем ближе это соотношение к числу e, тем эффективнее система счисления в представлении как больших чисел, так и чисел вообще. Самой эффективной системой. как можно понять, является не двоичная, как в большинстве современных компьютеров, а e-ричная и на практике она пока применяется только в экспериментальных цифрово-аналоговых и аналогово-цифровых гибридных компьютерах, если мы говорим о hardware. Но с другой стороны, это находит более широкое применение и в шифровании: то есть, е-ричная виртуальная машина может кодировать числа из других систем счисления (десятичной, двадцатиричной, двенадцатиричной, восьмиричной, семиричной и др) и символьные строки. В шифровании это применяется, прямо, сразу и уже так же, как и в случае с фи-нарной системой счисления.

Список рекомендуемых публикаций:

Bergman, George. “A Number System with an Irrational Base.” Mathematics Magazine, vol. 31, no. 2, Mathematical Association of America, 1957, pp. 98–110,

Eggan, L. C., and C. L. Vanden Eynden. “‘Decimal’ Expansions to Nonintegral Bases.” The American Mathematical Monthly, vol. 73, no. 6, Mathematical Association of America, 1966, pp. 576–82

Ambrož, P., Frougny, C., Masáková, Z., & Pelantova, E. (2003). Arithmetics on number systems with irrational bases. Bulletin of the Belgian Mathematical Society-Simon Stevin, 10(5), 641-659.

Stakhov, A. (2017). Numeral systems with irrational bases for mission-critical applications (Vol. 61). World Scientific, P. 284

Phillips, R. C. (October 1905), "The equal tempered scale", Musical Opinion and Music Trade Review, 29 (337): 41–42, ProQuest 7191936

Второй способ — прикладной, т. н. applied approach. Это способ рационального приближения в соответствии с эмпирической действительностью. Классический пример — число π. Просто запомнить: 100 десятичных знаков числа π является достаточной точностью для почти 100% всех нужд от космологии и аэродинамики до микробиологии и квантовой физики. Соответственно, мы составляем таблицу рациональных приближений числа π с нечетными индексами для аппроксимации снизу и с четными индексами для аппроксимации сверху. То есть, π₁, π₂,π₃... и т. д.

Мы получим счётное конечное множество, в котором 202 элемента, организованные по понятному правилу (продолжение в комментарии).