Докажите,что не существует целых чисел x и y, удовлетворяющих уравнению 15x*x - 7y*y = 9

15 х*х делится на 3, 9 тоже делится на 3, значит, 7у*у тоже должно делиться на 3. Это возможно только в том случае, если у делится на 3. Сделаем замену : у = 3а
Получаем :
3*5*х*х - 7*3*3*а*а = 3*3
5*х*х - 7*а*а = 1
5*х*х - 1 = 7*а*а
Теперь рассмотрим ряд 5*х*х - 1 при натуральных х
4, 19, 44, 79, 124, 179, 244, 319, 404, 499....
Следующий ряд - остаток от деления членов предыдущего ряда на 7 :
4, 5, 2, 2, 5, 2, 6, 4, 5, 2, 2, 5, 2, 6,...
Далее нижний ряд будет повторяться ( 4, 5, 2, 2, 5, 2, 6, ..) - чтобы доказать это, сравним остаток от деления на 7 двух чисел : 5*х*х - 1 и 5* ( x+7)*(х+7) - 1 = 5*х*х + 5*2*7*х +5*7*7 -1 = 5*х*х -1 + 5*2*7*х +5*7*7 . Поскольку два последних слагаемых делятся на 7 без остатка, то остаток от деления на 7 5*х*х - 1 и 5* ( x+7)*(х+7) - 1 будет одинаков.
Но 5*х*х - 1 должно делиться на 7 без остатка.
Следовательно, не существует х и у, удовлетворяющих начальным условиям.
Удачи !

Посмотри, какие остатки дают эти числа при делении на 9

Рассмотрите остатки по модулю 5. Если бы нашлись целые числа, требуемые в задаче, то 7y^2 давал бы остаток 1 при делении на 5, а значит, y^2 давал бы остаток три при делении на 5. Но квадраты могут давать только остатки 0, 1 и 4 при делении на 5.