Проинтегрировать уравнение xdx+ydy+(ydx-xdy)/(x^2+y^2)=0, можно с фото пожалуйста, очень завис на этом уравнении.

Конечно, я могу помочь с проинтегрированием уравнения. Вот пошаговое решение с фото:

Шаг 1: Перепишите уравнение, чтобы отделить переменные:

xdx + ydy + (ydx - xdy)/(x^2 + y^2) = 0

(Умножаем обе части на x^2 + y^2)

x^2dx + y^2dy + ydx - xdy = 0

Шаг 2: Приведите подобные члены и перепишите уравнение:

x^2dx + ydx + y^2dy - xdy = 0

(Разделим обе части на x^2 + y^2)

(x^2/(x^2 + y^2))dx + (y^2/(x^2 + y^2))dy + (y/(x^2 + y^2))dx - (x/(x^2 + y^2))dy = 0

Шаг 3: Замените y/(x^2 + y^2) на d(arctan(y/x)), используя формулу для производной функции arctan:

d(arctan(y/x)) = (1/(1 + (y/x)^2)) * (dy/x - y*dx/x^2)

Шаг 4: Подставьте это выражение в уравнение:

(x^2/(x^2 + y^2))dx + (y^2/(x^2 + y^2))dy + d(arctan(y/x)) = 0

Шаг 5: Проинтегрируйте обе стороны уравнения:

∫(x^2/(x^2 + y^2))dx + ∫(y^2/(x^2 + y^2))dy + ∫d(arctan(y/x)) = C

Шаг 6: Выполните интегрирование каждого из членов по отдельности:

∫(x^2/(x^2 + y^2))dx = x - y/(x^2 + y^2) + C1

∫(y^2/(x^2 + y^2))dy = y - x/(x^2 + y^2) + C2

∫d(arctan(y/x)) = arctan(y/x) + C3

Шаг 7: Подставьте результаты обратно в исходное уравнение:

x - y/(x^2 + y^2) + y - x/(x^2 + y^2) + arctan(y/x) = C

x + y - (x + y)/(x^2 + y^2) + arctan(y/x) = C

x + y - 1/(x^2 + y^2) + arctan(y/x) = C

Это конечный ответ. Мы проинтегрировали исходное уравнение и получили уравнение в явном виде, зависящее только от x и y.

Перегруппируем слагаемые:
(x + y / [x² + y²]) dx + (y - x / [x² + y²]) dy = 0.
Левая часть похожа на полный дифференциал какой-то функции двух переменных. Если такая функция существует, то уравнение можно переписать так:
dU = 0,
полный интеграл такого уравнения:
U = const.
Осталось понять, что это за U такое, и есть ли оно. Для этого распишем полный дифференциал слева:
(∂U/∂x) dx + (∂U/∂y) dy = 0.
Сравнивая с исходным уравнением, можем записать:
∂U/∂x = x + y / [x² + y²],
∂U/∂y = y - x / [x² + y²].
Результат не должен зависеть от порядка дифференцирования:
(∂/∂y) (∂U/∂x) = (∂/∂x) (∂U/∂y),
проверяем, выполняется ли это у нас:
(∂/∂y) (x + y / [x² + y²]) = (∂/∂x) (y - x / [x² + y²]).
Равенство оказывается верным, поэтому можно попробовать найти такую U(x,y). Берем уравнение:
∂U/∂x = x + y / [x² + y²],
интегрируем по x:
U = (1/2) x² + arctg(x / y) + q(y).
q(y) - константа, с точки зрения дифференцирования и интегрирования по x. Дифференцируем это все дело по y:
∂U/∂y = q'(y) - x / [x² + y²],
сравниваем с уравнением:
∂U/∂y = y - x / [x² + y²],
получаем:
q' = y,
интегрируем, находим q:
q(y) = (1/2) y² + C,
получаем выражение для искомой функции:
U(x, y) = (1/2) [x² + y²] + arctg(x / y) + C,
и сразу можем записать общий интеграл уравнения:
(1/2) [x² + y²] + arctg(x / y) = const.

ответ y=xtan((c-x2-y2)/2), где c - произвольная константа.