докажите что корни уравнения x^2+px+q=0, где p и q нечетные числа, иррациональны.

Действительно, по теореме Виетта
-p=x1+x2
q=x1*x2
Но далеко не все нечётные числа не имеют целых множителей. Правда, нечётные числа могут иметь только нечётные сомножители. А при нечётных модулях сомножителей, не имеет значения, отрицательные это числа или положительные, модуль их суммы всегда будет чётным. Противоречие.
С другой стороны, не все нецелые числа иррациональные. Возможно, удастся получить нечётное число и произведением дробных чисел, и их суммой.
a/b * c/d = q/1; a, b, c и d - целые числа
a/b * c/d = -p/1
Следовательно, и ac, и a+c должно делиться на bd. При этом, если модули a и c будут нечётны, то модуль их суммы будет чётным, а произведения - нечётным. Однако и сумма, и произведение, должны делиться на одно число - bd. Такое допустимо только если и а, и с - чётные числа, тогда и их сумма, и произведение, число чётное. Но тогда и bd должно быть чётным, а если или b, или d будет чётным, то дробь с этим знаменателем сразу станет сократимой. Ибо в несократимой дроби не могут быть оба числа чётными. Мы пришли к противоречию. Выходит, даже дробных рациональных решений у данного уравнения нету.

Вот, написал теперь покомпактней.

Пусть корни уравнения х1 и х2, тогда по теореме Виетта
p=x1 + x2
q=x1 * x2
Доподлинно известно, что у нечетных чисел нет целых множителей, поэтому и дискриминант в итоге будет из числа, корень из которого нецелое число, а, значит, корни будут иррациональными

у нечетных чисел нет целых множителей) Black Hawk, жжоте)

Пусть корни уравнения х1 и х2, тогда по теореме Виетта
p=x1 + x2
q=x1 * x2
предположим что при нечетных p и q, у нас корни целые, тогда:

произведение двух нечетных корней всегда дает нечетное число, а любая другая комбинация - четное (у одного из чисел будет 2 в числе множителей) .
однако, сумма двух нечетных чисел - это число четное.

Поэтому предположение, что оба числа p и q нечетные неверно.