Интегрирование простейших рациональных дробей. Не могу вычислить данный интеграл (Ax+B/x^2+px+q)dx

Нужно верхнюю часть дроби привести к виду - производной от знаменателя, т. е, в данном примере:
2x+p,
тогда
Ax + B = A / 2 · (2x + 2B / A) = A / 2 · (2x + p - p + 2B / A)
обозначив
(- p + 2B / A )= С
Получим:
Ax + B = A / 2 · (2x + p + С)
Тогда исходный интеграл можно заменить суммой двух:
(Ax+B/x^2+px+q)dx = A / 2 · [(2x + p / x^2+px+q )dx + (C / x^2+px+q)dx]
Первый интеграл легко преобразуется табличному:
(2x + p / x^2+px+q )dx = d(x^2+px+q ) / x^2+px+q
который легко вычисляется по формуле^ du / u = lh|u|
Второй же стоит преобразовать, представив выражение в знаменатели ка сумму или разность квадратов (тут от коэффициентов зависит), т. е.
x^2+px+q = x^2 + 2·p/2· x + p^2/4 + q - p^2/4 = (x + p/2)^2 + (q - p^2/4)
обозначим
если q - p^2/4 >0, то
q - p^2/4 = a^2
(C / x^2+px+q)dx = С dx / (x + p/2)^2 + a^2) = C · 1/a ·arctg (x/a)
если q - p^2/4 <0, то
- p^2/4 + q = - a^2
(C / x^2+px+q)dx = С dx / (x + p/2)^2 - a^2) = C · 1/a ·ln( |x-a| / |x+a|)
Ну и потом все это просуммировать.

интеграл суммы равен сумме интегралов

Та просто возьмите интегралы от каждого из слагаемых