. Доказательство факта, что корень кв из 2 нельзя представить в виде рациональной дроби.

От "противного". Начинать надо так: "Он такой противный..."
А если серьезно, то допусти наличие подобной НЕСОКРАТИМОЙ дроби m/n, и посмотри, что будет при ее возведении в квадрат... Сразу придешь к противоречию. Ведь дробь n/m тоже будет несократимой, а из равенства m^2/n^2=2, следует, что m/n=n/(2*m)

Да, это самое лаконичное, оптимальное доказательство. Можно рассуждать и так. Квадраты целых чисел заканчиваются только на 1, 4, 25, 6, 9, 00. Их двойные величины заканчиваются на 2, 8, 50, 00. Последний случай можно выбросить, ибо имеет место сокращение на 100. Значит, двойные величины квадратов целых чисел не могут быть тоже квадратами таковых. В учебнике геометрии 50-х годов приводилось геометрическое доказательство, сопоставлением стороны квадрата с его диагональю. Но не помню его содержание.

Доказательство того, что не является рациональным числомТеорема. Число , которое удовлетворяет уравнению , не является рациональным. Доказательство. Предположим, что число , которое удовлетворяет уравнению , является рациональным, т. е. по определению рационального числа его можно представить в виде дроби ( целое число, натуральное) , причем примем тот факт, что данная дробь несократима (а если она сократима, то сократим ее приступим к доказательству) . Подставим такую запись в исследуемое уравнение: .Поскольку правая часть уравнения является четной, т. к. имеет множитель 2, то и левая часть тоже должна быть четной. Поскольку четное, то и тоже четное, т. к. оно целое по предположению и не может быть нечетным, поскольку квадрат нечетного числа тоже нечетное число. Тогда число можно представить в виде , где некое целое число. Подставим это в полученное уравнение: .Проведя аналогичные рассуждения, как и для числа , можем сделать вывод, что число является четным, и его можно представить в виде . Тогда дробь , как видно, является сократимой, то противоречит предположению доказательства. Поскольку мы пришли к противоречию, то число не является рациональным.
P.S. Формулы не отобразились, смотрите ссылку.