Если x - действительное число, то как доказать, что x^2 = (-x)^2?

Ну, упростила дальше некуда, наверное.
Рассмотрим выражение
x*x + [(-x)*x + (-x)*(-x)]=x*x+ (-x)*(x+(-x)) = x*x+(-x)*0=x*x, с одной стороны. С другой, то же выражение равно
[x*x + (-x)*x] + (-x)*(-x)= (x+(-x))*x+(-x)*(-x)=0*x+(-x)*(-x)=(-x)*(-x). Практически все.

Использовалась дистрибутивность, ассоциативность сложения, коммутативность умножения, свойства противоположного элемента и равенство 0*a=0, которое использовалось и в предыдущем доказательстве, в список аксиом не входит, но нигде выше не доказано.

Докажем. 0*a=(0+0)*a=0*a+0*a. Добавим к правой и левой части противоположный элемент к 0*a. Получим
0 = 0*a. Вот теперь все.

С помощью сочетательного закона умножения: (a*b)*с = a*(b*c). Если словами - то сомножители, когда их больше двух, можно группировать как угодно - произведение от этого не меняется. Ну и переместительный закон тоже - сто a*b = b*a.
Совершенно очевидно, что когда сомножителей больше трёх, этот закон всё равно выполняется (доказывается элементарно, можете сами попробовать) . Так что если представить -х как (-1)*(х) и подставить это вот в это самый закон, то не штука увидеть, что (-1*х) *(-1*х) = (-1*x*-1)*x = -1*-1*x*x, Вуаля.

2-я степень есть не что иное, как произведение 2-х одинаковых чисел. А знак произведения действительных (положительных и отрицательных) чисел тоже определен аксиоматически, независимо от того, упомянуто ли об этом в книге Кудрявцева или нет. Во всяком случае в школе нас так учили.

мат. индукция?

Степень произведения А далее (-!)^2=1

Минус единицу всегда можно возвести в квадрат так, что получается 1: по определению. Далее любое число в квадрате можно представить, как произведение квадрата минус единицы на это число. Все.