Почему в действительных числах нет разложения на множители x^2+y^2 ?

От противного

Пусть такое разложение есть. Тогда x^2 + y^2 раскладывается на множители, являющиеся многочленами первой степени, т. е. x^2 + y^2 = (a1x + b1y + c1)*(a2x + b2y + c2).

Раскрываем скобки:

a1a2x^2 + b1a2xy + c1a2x + a1b2xy + b1b2y^2 + c1b2y + a1c2x + b1c2y + c1c2 =
= a1a2x^2 + b1b2y^2 + (b1a2 + a1b2)xy + (c1a2 + a1c2)x + (c1b2 + b1c2)y + c1c2

Приравниваем это x^2 + y^2, получаем тождество. В нём одноимённые коэффициенты равны:

a1a2 = 1
b1b2 = 1
b1a2 + a1b2 = 0
c1a2 + a1c2 = 0
c1b2 + b1c2 = 0
c1c2 = 0

Из первых двух равенств следует, что все четыре коэффициента a1, a2, b1, b2 отличны от нуля. Умножим третье равенство на a1 (это можно, т. к. a1 не равен 0)

a1b1a2 + a1^2b2 = 0

откуда, т. к. a1a2 = 1:

b1 + a1^2b2 = 0

Это равенство умножим на b2 (он также не равен 0):

b1b2 + a1^2b2^2 = 0

Т. к. b1b2 = 1, то

1 + a1^2b2^2 = 0

Отсюда (a1b2)^2 = -1.

Если a1 и b2 - действительные числа, то слева в равенстве стоит неотрицательное число, между тем, как справа - отрицательное. Противоречие.

Значит разложения нет.

У вас у отображения x^2 + y^2 прообраз нуля - это точка (0, 0).
А у отображения (a1x + b1y + c1)*(a2x + b2y + c2) прообраз нуля содержит хотя бы одну прямую.