Решите однородное дифференциальное уравнение первого порядка xydx – (x^2 + y^2)dy = 0

Поступим через задницу: найдем сперва зависимость x от y.
dx/dy = (x^2 + y^2)/xy = x/y + y/x

Сделаем замену: u(y) = x(y)/y
x(y)=u(y)*y
dx = ydu + udy

ydu/dy + u = u + 1/u
Это уравнение с разделяющимися переменными:
udu = dy/y

(1/2)*u^2=ln(y) + C
x = +/-y*sqrt(2*ln(y) + C)

Если отсюда захочется выразить y через x, то придется воспользоваться
https://ru.wikipedia.org/wiki/W-функция_Ламберта

Теперь проверяем вашим нелюбимым вольфрамом (все его здесь пинают), для проверки и подсказок - самое оно. Вбиваем
xydx – (x^2 + y^2)dy = 0, видим функции Ламберта. Меняем x и y местами, вбиваем
xydy – (x^2 + y^2)dx = 0.
С нашим решением сходится!

правильно выражение запиши

Do you speak English? Can you replace + on -?
(x^2 + y^2) dx + xy dy = 0

xy dy = - (x^2 + y^2) dx

dy/dx = - (x^2 + y^2) / xy

dy/dx = - (x/y + y/x)

let y/x = v
y = vx
dy/dx = v + xdv/dx

v + x dv/dx = - (1/v) - v

x dv/dx = -(1/v) - 2v

x dv/dx = -(2v^2 + 1)/v

separating variables

v/(2v^2 + 1) dv = -dx/x

(1/4)[4v /(2v^2 + 1) ] dv = - dx/x

integrating

(1/4) ln (2v^2 + 1) = -ln x + c

ln(2v^2 + 1) = ln(C/x)

2v^2 + 1 = C/x

back substitute v = y/x

2 y^2/x^2 + 1 = C/x

2y^2/x^2 = (C/x) - 1

2y^2/x^2 = [ C - x]/x

2y^2 = x(C - x)

y = √[x(C-x)/2]