Задача, решите пож-та: Найти координаты центра тяжести параболистического сегмента, ограниченного линиями y=4-x^2, y=0.

может центра масс? Центр тяжести - это немножко другое и в отличие от центра масс он может зависеть от внешних условий.

Ну а центр масс найти просто:
1. найдём общую площадь сегмента: это интеграл с границами x₁ = -2, x₂ = 2.
F = 4x - x³/3.
S = (4*2 - 2³/3) - (4*(-2) - (-2))³/3 = 8 - 8/3 + 8 - 8/3 = 32/3

2. найдём такую параболу y = k - x², площадь которой над осью Ox была бы S₂ = S/2
Эта парабола пересекает ось Ox в точках x = ±√k
Первообразная F₂ = kx - x³/3
S₂ = (k*√k - (√k)³/3) - (k*(-√k) - (-√k)³/3) = (√k)³ - (√k)³/3 + (√k)³ - (√k)³/3 = 2*(√k)³ - 2*(√k)³/3 = 16/3
3*2*(√k)³ - 2*(√k)³ = 16
6*(√k)³ - 2*(√k)³ = 16
4*(√k)³ = 16
(√k)³ = 4
k³ = 16
k = 2∛2
Значит горизонтальная терта, которая делит параболу на 2 равные по площади части находится на высоте
y = 4 - 2∛2

3. Найдём вертикальную черту, которая делит исходную параболу на 2 равные по площади части. Учитывая, что функция симметрична относительно оси Oy (и это можно доказать, просто мне лень уже :)) ), то искомая вертикальная черта лежит на оси Oy. То есть x = 0

4. Мы нашли 2 линии, каждая из которых делит фигуру 2 равные по площади части. А точка, через которую эти линии проходят, является центром массы исходной параболы.
c = (0, 4-2∛2)

Ордината центра "тяжести", если не ошибаюсь, находится по формуле yC= int[from a to b]y^2*dx/F= int[from a to b]y^2*dx/int[from a to b]ydx. Будет время - рассчитаю.