Помогите с решением неравенства с модулем, пожалуйста: (|x+2|- x)/(x) < 2

Предыдущему оратору: |x+2| = 3x и |x+2|^2 = (3x)^2 - не одно и то же! Попробуйте подставить ваш корень -1/2...
Надо было раскрывать модуль на интервалах <-2 и >-2, находить корни (он будет только один, 1), а потом проверять знак на каждом из полученных интервалов x<0, 0<x<1,>1.
Получите x<0 или x>1

В 0 обращается выражение при х=1. От х = -2 и далее в плюс |x-2| = x-2 (x+2)/x - 3 < 0; 1+2/x <3; 2/x<2; x> 1.В нуле – разрыв . И выражение < 0 при x<0.
Итак, полный ответ: Неравенство удовлетворяется в 2х интервалах: x < 0 и 1 < x

Прежде всего ОДЗ х=/=0.
а) Раскрываем модуль при х+2 >= 0, т. е при х >= (-2),
получаем: (х+2-х) /х < 2, 2/x < 2,
При x > 0 получаем: 2 < 2*x, x > 1.
При x < 0 получаем: 2 > 2*x, x < 1, значит -2 < x < 0.
б) Раскрываем модуль при х+2 < 0, т. е при х < (-2), получаем: (2-х-х) /х < 2, (2-2*x)/x < 2, 2*(1-x)/x < 2, (1-x)/x <1, 1-x > x, 2*x < 1, x < 1/2.
Значит годятся все значения x < (-2).
Объединяя части решений а) и б) получим: либо х <0, либо х > 1, или иначе можно записать: (-∞; 0) U (1; +∞).

(|x+2|- x)/(x) - 2 < 0
методом интервалов:
(|x+2|- x)/(x) - 2 = 0
сводим к общему знаменателю :
(|x+2| - x - 2x )/x = 0 ;
(|x+2| - 3x)/x = 0
ОДЗ : x не равно 0 ;
|x+2| - 3x = 0;
|x+2| = 3x ;
по свойству модуля: | x |^2 = x^2 ; обе части уравнения возводим в квадрат:
|x+2|^2 = (3x)^2 ;
(x+2)^2 = (3x)^2 ;
x^2 + 4x + 4 = 9x^2 ;
-8x^2 + 4x + 4 = 0
2x^2 - x - 1 = 0 ;
D = 9
x1 = (1+3)/4 = 1
x2 = (1-3)/4 = -1/2
Наносим на числовую ось корни (обе точки выколотые) ; разбивают числовую ось на 3 промежутка и ищем знак на каждом промежутке :
от : - бесконечности до - 1/2 = +
от : -1/2 до 1 = -
от : 1 до + бесконечности +
значит x есть от -1/2 до 1, но учитывая ОДЗ х не равно 0 : x есть (-1/2 ; 0) (0 ; 1)