Комплексное число z можно определить как упорядоченную пару вещественных чисел (x,y). Как это понять?

с = a + ib - это не определение комплексного числа, а следствие определения. Комплексные числа вводятся как расширение множества действительных чисел для того, чтобы можно было решать алгебраические уравнения типа x^2 + 1 = 0. Так вот, ОПРЕДЕЛЕНИЕ комплексного числа - это упорядоченная пара действительных чисел (a, b). Первое из чисел называется действительной частью комплексного числа, а второе - мнимой.
Действия на множестве комплексных чисел вводятся так (это тоже ОПРЕДЕЛЕНИЯ) :
Сложение:
(a, b) + (с, d) = (a + c, b + d)
Умножение:
(a, b) * (с, d) = (a*c - b*d, a*d + b*c)
(где a*c и т. д. - обычное умножение действительных чисел) . Вычитание и деление можно тоже ввести формулами, но проще сказать, что они являются обратными операциями к сложению и умножению. Дальше, легко проверить (сделайте это сами) , что если мнимая часть равна нулю, то сложение, умножение, вычитание и деление сводятся к обычным операциям над действительными частями. Поэтому можно считать, что обычные действительные числа - это подмножество комплексных, когда мнимая часть равна нулю. Это записывается так:
(a, 0) = a (тождественно! )
Соответственно,
(a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0) = a + b,
и т. п.
Теперь - самое главное: комплексное число i = (0, 1) называется мнимой единицей. Проверьте сами, что i^2 = -1, то есть теперь у нас появилось число, квадрат которого равен -1! Дальше, проверьте сами следующую цепочку равенств:
(a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (0, 1)*(b, 0) = a + i*b,
то есть комплексное число (a, b) можно записать как a + i*b. Я написал так длинно именно для того, чтобы показать Вам, как запись a + i*b вытекает из определения комплексного числа.

Hу примерно как матрица, которая есть сложный объект, состоящий из NxM чисел и который рассматривается ЦЕЛИКОМ. То есть в ней тоже, поняное дело, можно обращаться к отдельному элементу, и операции с матрицами сводятся к операциям с отдельными элементами, - но для внешнего мира она выступает как ЕДИНОЕ ЦЕЛОЕ. Файл, а не отдельные его байты.
Ровно так же и с комплексными числами - это объект, у которого хоть и есть некоторая внутренняя структура, но воспринимать его надо ЦЕЛИКОМ.

Ну и почему именно так, а не a+ib. По чисто формальным соображениям - но математика как раз на формальных соображениях и основывается. Ведь что получается: вы хотите ввести некий непонятный объект (мнимую единицу) , про который ЗАРАНЕЕ ничего не известно. Кроме того, что её квадрат равен -1. А как, позвольте спросить, возводить этот неизвестный объект в квадрат? А на каком таком основании, позвольте опять же спросить, вы собираетесь умножать это непонятно что на вещественное число да потом ещё и складывать с другим? А кто, милостивый государь, даст гарантию, что складывать а с ib - это не то же самое, что складывать рубли с литрами?
Вот именно для того, чтоб не возникало лишних и неудобных вопросов, и вводится ФОРМАЛЬНОЕ определение комплексного числа как пары вещественных (a, b), ДЛЯ ТАКОЙ ПАРЫ постулируются операции масштабирования, сложения и умножения объектов, а уже потом показывается, что по своим свойствам пара (а, 0) НИЧЕМ НЕ ОТЛИЧАЕТСЯ от вещественного числа а, а произведение (0, 1) на (0, 1) по своим свойствам ничем не отличается от вещественной -1. И вот только тогда можно говорить о том, что пара (a, b) ЭКВИВАЛЕНТНА записи a+ib.

Любое комплексное число можно представить как точку или радиус-вектор с координатами (x,y) на комплексной плоскости.
a и b - это и есть вещественные числа, они же - компоненты вектора или абсцисса и ордината точки на комплексной плоскости.
a+ib - это уже представление в виде пары вещественных чисел

Аналогично тому, как отрезок на плоскости в виде пары чисел - проекции на x и проекции на y.
Комплексное число - не просто пара вещественных чисел, но его можно записать парой вещественных чисел, если помнить, что первое выражает одну часть комплексного числа, а второе - вторую часть.

примерно так
с= ( а ; b )