Помогите, плиз, Найти наибольшее и наименьшее значения функции z (x,y) в замкнутой области D. Z= sin y +sin (x+y)

Здравствуйте!

Сначала анализируем функцию на интерьере D: поулчаем, что dz/dy = cos(y) + cos(x + y); dz/dx = cos(x + y). Находим критические точки. Поскольку частные производные везде существуют, критическими точками являются только те точки (a, b), которые удовлетваряют

dz/dy (a, b) = dz/dx (a, b) = 0

А значит,

cos(b) + cos(a + b) = cos(a + b) = 0

Из чего следует, что cos(b) = 0. Но тогда, b > pi/2 или b < -pi/2. В любом случае, b не лежит в интервале (0, pi/2), из чего следует, что для любой точки a, точка (a, b) не лежит во множестве (0, pi/2)x(0, pi/2), а значит не лежит в интерьере D. Значит, что интерьер D не содержит критических точек, и тогда функция не достигает максимума/минимума на интерьере D. Теперь анализируем границу D, состоящей ис следующих множеств:

M1 = [0,pi/2] x [0, 0]
M2 = [pi/2, pi/2] x [0, pi/2]
M3 = [0, pi/2] x [pi/2, pi/2]
M4 = [0, 0] x [0, pi/2]

Теперь, наидите критические точки функции на М1, ..М4. Это и будут вашими потенциальными точками. Затем рассмотрите значения функции на этих точках и выберете максимум/минимум. Чтоб найти критическую точку, скажем, на М1, найдите критическую точку функции с одной переменной заданой таким образом:

f(x) = z(x, 0)

Где z(x, y) является изначальной функцией. То есть, f - дана функцией z, где вторая переменная равна нулю. Соответственно, на М2, рассмотрите функцию

f(y) = z(pi/2, y)

Теперь уже согласно второй переменной y. И так далее.

В. Н. Е.