если x+y+z = 0, верна ли формула x^4 + y^4 + z^4 = 2(xy+yz+xz)^2

Возведём равенство x + y + z = 0, заданное по условию, в квадрат и получим:

x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2xz = 0. Соответствующую формулу для квадрата суммы трёх выражений легко можно доказать, например, перемножением по правилу многочленов

Отсюда.
2(xy + yz + xz) = -(x^2 + y^2 + z^2)

Это равенство снова возведём в квадрат:

4(xy + yz + xz)^2 = x^4 + y^4 + z^4 + 2x^2y^2 + 2y^2z^2 + 2x^2z^2

И поделим на 2:

2(xy + yz + xz)^2 = (x^4 + y^4 + z^4)/2 + x^2y^2 + y^2z^2 + x^2z^2

Левая часть этого равенства есть правая часть равенства исходного, поэтому заменим эту правую часть исходного равенства правой частью полученного равенства. Будем иметь:

x^4 + y^4 + z^4 = (x^4 + y^4 + z^4)/2 + x^2y^2 + y^2z^2 + x^2z^2

Умножим равенство на 2:

2(x^4 + y^4 + z^4) = x^4 + y^4 + z^4 + 2(x^2y^2 + y^2z^2 + x^2z^2)

Вычтем x^4 + y^4 + z^4 из обеих частей

x^4 + y^4 + z^4 = 2(x^2y^2 + y^2z^2 + x^2z^2)

Перенесём 2x^2z^2 + 2y^2z^2 в левую часть с противоположным знаком, а 2x^2y^2 оставим справа:

x^4 + y^4 + z^4 - 2x^2z^2 - 2y^2z^2 = 2x^2y^2

Прибавим теперь к обеим частям 2x^2y^2

x^4 + y^4 + z^4 + 2x^2y^2 - 2x^2z^2 - 2y^2z^2 = 4x^2y^2

В этом равенстве левая часть преобразуется по формуле: a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2ac - 2bc = (a + b - c)^2, которую тоже легко доказать.

Тогда имеем:

(x^2 + y^2 - z^2)^2 = 4x^2y^2

Перенесём правую часть налево, предварительно преобразовав её:

(x^2 + y^2 - z^2)^2 - (2xy)^2 = 0

И разложим левую часть по разности квадратов:

(x^2 + y^2 - z^2 - 2xy)(x^2 + y^2 - z^2 + 2xy) = 0

В каждой из скобой переставим слагаемые местами:

(x^2 - 2xy + y^2 - z^2)(x^2 + 2xy + y^2 - z^2) = 0

Выражения x^2 - 2xy + y^2 и x^2 + 2xy + y^2 есть полные квадраты разности и суммы соответственно. Поэтому будет:

((x - y)^2 - z^2)(((x + y)^2 - z^2) = 0

Каждая из скобок есть тоже разность квадратов, поэтому разложим и их:

(x - y - z)(x - y + z)(x + y - z)(x + y + z) = 0

В левой части по условию последняя скобка равна 0, а значит равно нулю и всё произведение. Получили верное равенство: 0 = 0. Теперь, производя эти выкладки в обратном порядке, убеждаемся в том, что и исходное равенство при заданном условии тоже верно.

А посчитать слабо?
Или ноли перемножать — выше твоих способностей?

Допустим:
x = 6, у = 5, z = -11.

Подставим.

6^4 + 5^4 + (-11)^4 = 2(6*5 + 5*(-11) + 6*(-11)^2.

Проверим.

Первая часть выражения: 1296 + 625 + 14641 = 16562.

Вторая часть выражения: 2(30 - 55 - 66)^2 = 2(-91)^2 = 8281*2 =16562.

Если условие сходится один раз - сойдется и в другие разы.

Вот, как-то так.