Для чего придумали комплексные числа? Почему нельзя было обойтись только вещественными числами?

В случае открытий и изобретений не всегда можно говорить: "для чего". Пример комплексных числел прекрасное тому подтверждение.
Какой может быть смысл в мнимой единце, которая, всего-лишь воображаемый корень из минус 1. Стоит отметить, что отрицательные числа сами по себе тоже бессмыслены и бесполезны. Не бывает же длинны -2 метра. Если температуру измерять по шкале Кельвина, то все наблюдаемые температу окажутся положительными.
Если Вас интересует реальная конечная величина, то ее всегда можно выразить положительным рациональным числом. Оказалось, что иррациональности и мнимости очень полезны в практических вычислениях.. .
Если назвать истинную причину практического интересса к комплесным числам, то, я уверен, что ни Вы меня не поймете, ни коллеги по цеху (кроме специалистов АСУ) . Первую практическую пользу комплексные числа принесли в задаче расчета парового двигателя. Дело в том, чтобы определить степень устойчивости механизма, нужно решать уравнение третий и четвертой степени. Во времена паровых двигателей ни компутеров, ни арифмометров не было. Оказалось, что при помощи комплесных чисел найти характеристические рещения, важные для стабильной работы механизма, проще и дешевле.
Позже ситуация повторилась в электродинамике и расчете электрических схем переменнного тока. Вот собственно и все. В конце XIX были популярны и употребимы гиперкомплесные числа. Однако, зачем они нужны не будем обсудать в этом вопросе.

Числа должны быть полными, а не урезанными.
То есть, если есть какая операция над числами, то должна быть и обратная операция для неё.

Комплексные числа это минимальные числа, которые обладают таким замечательным свойством. Все другие числа, для которых существуют ВСЕ обратные операции, во-первых, сложнее комплексных чисел, а, во-вторых, беднее их.

Например, кватернионы это уже 4-компонентные числа, а числа Кэлли это уже 8-компонентные числа. Кроме того, кватернионы не коммутативны по умножению (от перестановки мест сомножителей меняется произведение) , а числа Кэлли не только некоммутативны, но и не ассоциативны (от расстановки скобок в произведении меняется результат) .

У все урезанные числа (натуральные, целые, рациональные, действительные) не имеют многих обратных операций.

Поэтому построить полную математику можно только с использованием комплексных чисел.

Кроме того, в комплексных числах многие математические теоремы доказываются в 3-4 строки, тогда как в вещественных числах они доказываются в 3-4 страницы.

Комплексные числа существенно облегчают вычисления интегралов, решения дифференциальных уравнений и т. д.

Можно, но комплексные числа удивительным образом облегчают вычисления во многих областях. Значит, они соответствуют чему-то реальному в природе. Это раз.

Второе. Комплексные числа – необходимое следствие вещественных. Хочешь не хочешь, а корень из отрицательного числа хочется уметь извлекать. Отсюда всё и пошло. )))

Что значит - придумали? Наука ничего не придумывает. Математика дает математический аппарат, описывающий поведение реальных объектов. Те же комплексные числа широко применяют для описания процессов в сетях переменного тока, например.

Одномерность претит жизни.

Ну если быть занудой, то комплексное число это "пара вещественных чисел": (а, b)
Кстати, вещественное число это тоже пара вещественных чисел: (с, 0)
Так что запросто можно обойтись только вещественными числами, но рассматривая их парам.

Все зависимости от философствований, учить тебе их все равно прийдется...

Чтобы не комплексовать в математике.

комплексные числа придумали для получения зарплат, премий, званий, и так далее