Когда народы захотели решать уравнения вида x² + 1 = 0, они придумали комплексные числа.

Комплексные числа придумали гораздо позже, чем научились решать уравнения вида x² + 1 = 0. Комплексные числа придумали для математической полноты понятия числа. До этого, решения уравнений, типа x² + 1 = 0 или подобных считались курьёзами, не имеющими практического применения. И даже числам придумали нелепое имя "мнимые". Были также в ходу и такие названия, как "потусторонние" и "призрачные".

Конкретно, кватернионы сначала были придуманы при изучении такой операции, как умножения пространства на точку этого пространства.
Оказалось, что можно умножить одномерное пространство на точку из этого пространства. Это приводит к понятию вещественных чисел и обычного перемножения чисел.
Затем, можно умножить двумерное пространство на любую точку этого пространства. Это приводит к понятию комплексного числа и умножению комплексных чисел.
А вот трехмерное пространство однозначно умножить на точку этого трехмерного пространства никак не получается. Можно умножить, но только с точностью до поворота этого пространства вокруг оси.
В то время, как 4-мерное пространство без проблем умножается на любую точку этого пространства. Эта операция приводит к понятию кватернионов.

А уже потом в функциональном анализе была найдена связь кватернионов с оператором момента вращения. Это нашло практическое применение в квантовой механике при создании квантовой теории строения атомов. Например, матрицы Паули, это, на самом деле, представление кватернионов матрицами 2х2, а матрицы Дирака, это, на самом деле, представление кватернионов матрицами 4х4.

хз, для чего придумали кватернионы, меня там не было, а вики нагуглишь и без меня, но сама их идея довольно проста: кватернион - это фактически та же конструкция a+ib, в которой a и b - уже не вещественные числа, а комплексные, с другой мнимой единицей.

так что даже если бы они ни для чего особо не пригодились, кто-нибудь их бы да придумал - чисто по приколу.

Именно. Древние скотоводы и собиратели.

Чтобы решать уравнения вида i^2=j^2=k^2=ijk=-1, и подобные им для гиперкомплексных чисел большей размерности?

для решения таких уравнений хватило бы и мнимой единицы! комплексные числа здесь не нужны!