Где встречаются комплексные числа и зачем они вообще нужны?

Везде.

Во-первых, многие физические величины на самом деле не чисто действительные, а комплексные (взять хотя бы показатель преломления) .

Во-вторых, комплексные числа используются в электротехнике для расчёта цепей переменного тока - это уже практичней некуда.

В-третьих, сама математика с комплексными числами обладает гораздо большими возможностями, чем без них, а т. к. математический аппарат используется во всех областях техники, то и техника, стало быть, обладает большими возможностями.

Никакие числа не нужны нигде, кроме как в математике.
Ах, да, конечно: числа нужны на рынке - при покупке картошки.. . То есть для счета.
Но вот уже иррациональные числа для счета не нужны. Они нужны в анализе, причем важны не сами по себе, а только их существование.
Впрочем, комплексные числа имеют прикладное применение. Они нужны при решении дифференциальных уравнений - при расчетах электрических цепей. Без них невозможна так называемая спектральная теория (собственные значения и собственные векторы) , практическое значение которой огромно. И многое другое, в чем вам придется поверить на слово.

Первоначально, комплексные числа возникли в чисто прикладных задачах (архитектура, расчет прчности) и долго не принимались математиками (в расчётах под корнем появлялось отрицательное число, извлечь невозможно, и, если формально расчёт довести до конца, то все такие числа исчезали, сокращались. Это вызывало удивление и было сомнительно с точки зрения тогдашней математики) . Затем математики серьёзно ими занялись. Вы, сейчас, видите результат длительного развития теории, плод раздумий и ошибок и достижений и озарений многих, очень не глупых, людей. Сразу постигнуть не старайтесь, но историю посмотрите.

в уравнение шредингера, которое описывает поведение микро мира, входит мнимая единица, а решения этого уравнения содержат (обязательно! ) комплексные коэффициенты.

Объяснить довольно трудно.. . Представь себе, что второклассник спрашивает - зачем нужны вещественные числа? Ведь или есть несколько предметов, или нет, половина стола - это какая-то ненужная нереальная чепуха, такой стол упадет.. . Когда он начнет заниматься физикой, функциями и так далее, только тогда он увидит, зачем они, а так ему объяснить это сложно.
Грубо говоря, комплексные числа позволяют включить в понятие числа не только величину, но и направление. Как ни странно, но их свойства, правила действий с ними совпадают со многими свойствами реальных процессов, ими очень просто описываются многие вещи, например, сложение переменных напряжений и токов. А многие более сложные вещи без них практически просто не описать на языке математики.
Если ты начнешь заниматься электротехникой, радиотехникой, вообще физикой - от теории относительности до квантовой механики - увидишь, что они все "сидят верхом" на комплексных числах, почти все модели и расчеты базируются на них.
Кстати, существуют и гиперкомплексные числа, например, кватернионы часто используются при расчете трехмерных картинок на экране монитора - с ними очень просто описываются повороты и вращения в трехмерном пространстве.

Вы писали про графики - так вот, Вы, наверное, слышали про векторы? Вот их то и можно численно описать - комплексными числами.

Степан - про комплексные числа есть замечательные пояснения в книге итальянского физика Фано "Атомы и молекулы" (фаноны - это в его честь) .
Твердо запомни следующее
1) в комплексном числе физическим смыслом обладает только его действительная часть.
2) с комплексными числами проще проводить вычисления
3) итак - реальной физической величине, например, напряженности эл. поля ставят в соответствие комплексное число (действительная часть этого числа дает величину поля) . Далее проделываем вычисления и получаем какой-то результат в комплексном виде. Теперь опять надо перейти от комплексного числа к вещественному - мы берем действительную часть комплексного - вот наша искомая величина.
4) Решая физические задачи с использованием комплексных чисел (КЧ) не все математические операции можно делать. Этого, кстати, многие не понимают. Т. е. с точки зрения математики все сделано верно - а физический смысл ответа неверен.
Например, КЧ широко используются для описания эл. магн. волн (включая свет) . А уравнения Максвелла линейные, поэтому пока мы выполняем с КЧ линейные операции, недоразумений не возникает. Но как только мы начинаем проводить нелинейные (например, возведение в квадрат) операции - сразу получаем неверное решение.
Это легко проверить на простейшем примере
E = Eo sin(wt) - вектор эл. поля в волне
E = Eo exp(iwt) - комплексный "эквивалент"

возводим в кватрат
E^2 = Eo^2 (sinwt)^2 сначала с действительным числом

E = Eo^2 exp(i2wt) а это с комплексным. Теперь берем от комплексного его действительную часть

Re [ Eo^2 exp(i2wt) ] = Eo^2 sin(2wt)

Как говорится - небо и земля.

Философия чисел какая-то…

Мне кажется комплексные числа стали нужны т. к. их придумали и начали использовать, но на самом деле если бы начили использовать вычисления без них, то они бы были не нужны. А нужны были только векторы, например.