Заем нужны комплексные числа? Где их применяют? И почему с ними получаются правильные расчеты?

Есть такая теорема Фробениуса, которая доказывает, что настоящими числами, с полным набором всех свойств чисел, являются только комплексные числа.
Обычные действительные числа это только частный случай комплексных чисел, как бы неполные усеченые (инвалидные) числа. А такие расширения понятия числа, как кватернионы и октавы Кэлли уже не обладают коммутаивностью (кватернионы) и ассоциативностью (числа Кэлли) .
Любые другие расширения понятия действительного числа, которые коммутативны и ассоциативны, могут быть только такими, которые имеют нетривиальные делители нуля. Но такая математика не имеет отношение к реальному миру. (Векторное произведение векторов имеет нетривиальные делители нуля, но у них нет обратной однозначной операции деления векторов, так что это не правильная система чисел. )
Из-за того, что комплексные числа это самые настоящие числа (не усеченые и обладающие всеми самыми полными свойствами чисел) , вся математика переписанная в комплексных числах резко упрощаеся.
Там где доказательства некоторых теорем с применением только действительных чисел занимает несколько страниц, те же самые доказательства с применением комплексных чисел может занимать только пару абзацев.
Поэтому применение комплексных чисел привело к революционному прорыву в развитии математики. А впоследствии и к существенному упрощению разных расчетов в таких математизированных науках, как астрономия, механика, физика и др. В этих науках также применяют комплексные числа.
Нельзя сказать, что с комплексными числами получаются правильные расчеты, а с применением только вещественных чисел неправильные. С применением вещественных чисел расчеты в технике и в физике тоже получаются правильными. Но они получаются очень трудными и сложными. Вероятность ошибки очень сильно возрастает.

Почти вся математика сидит верхом на комплексных числах. Это, так сказать, наиболее универсальный вид чисел, позволяющий производить любые операции, если не считать сконструированных из них множеств, своего рода "гиперчисел" в виде тензоров. Все физические расчеты, от квантовой механики до теории относительности, тоже базируются на комплексных числах. Вся электрорадиотехника - на них.
Почему - тайна сия велика, как и вообще почему существует математика ;)
Абстрактные объекты вообще довольно удивительная вещь, начиная с отрицательных чисел, и навряд ли ты можешь себе наглядно представить "минус два" карандаша как число карандашей.

В электро- и радиотехнике . Так уж получилось, что полное электрическое сопротивление в цепи оказалось равно сумме активной составляющей и корню квадратному из разницы квадратов ёмкостной и индуктивной составляющих, что очень напомнило форму записи комплексного числа ииии.... понеслась душа в рай у бумагомарателей.

В узких рамках реальных чисел, как в тесной комнате, размахнуться негде, чтобы хорошенько ударить. Стены мешают. Придумали комплексные и получилось, что стены исчезли. Теперь можно размахнуться и даже разбежаться.... Главное, следить, чтобы все необходимое осталось в рамках комнаты, а то трактовать полученный результат станет невозможно.
А если серьезно, так мир наш такой.... многомерный, и гораздо более сложный, чем кажется.