Почему фазу сигнала описывают комплексными числами? В чем проблема сделать это действительными?

Просто удобно.

Любая область, в которой величина характеризуется двумя независимыми параметрами имеет основания к тому, чтобы быть описанной комплексными числами. Если при этом для данных параметров применим аппарат комплексных чисел, то отчего же им и не воспользоваться. Использование мнимой части в подобных случаях чаще всего совсем не говорит о нереальности стоящей за данным параметром физической характеристики.

В комплексных числах проще вести сложные вычисления (обработка сигналов и т.п.)

В том, что действительными числами считать сложнее. Ими придется имитировать то, что в комплексных, так сказать, от рождения.
Теория относительности сначала появилась в виде формул с действительными числами. Потом оказалась, что и формулы, и вычисления выглядят гораздо проще, если использовать аппарат комплексных чисел. А потом от комплексных чисел перешли к тензорам :)

Амплитуда это действительная часть, а фаза мнимая

Исключительно для
... удобства.
Рассчётов.
Математики придумали, чтобы не мучаться. С арифмометрами.

Представляй, как "четвёртое" измерение. Они ж говорят "комплексная плоскость".

Можно, разумеется, обойтись и без комплексных чисел. Просто, ими это сделать проще.

И, на самом деле, введённое Вами противоречие — мнимое: каждое комплексное число это и есть пара действительных чисел (каждое действительное — пара сечений рациональных, каждое рациональное - упорядоченная пара целых, каждое целое — упорядоченная пара натуральных).

То есть всякое описание комплексными числами — это, на самом деле, описание парой действительных в заданной грамматике.