Что такое комплексное число, простым языком для гуманитария?

Я тебе лучше объясню на уровне второклашки (кем будет второклашка, пока не знаю). Только я второклашке пока про комплексные пока не рассказываю - говорю, ты все равно пока не знаешь, где бы их применить.

Совсем по простому - действительные откладываются на числовой прямой, а комплексные - на плоскости. Комплексные - расширение действительных, действительные на комплексной плоскости попадают на ось абсцисс. Абсцисса комплексного числа - его действительная часть, ордината - мнимая. Мнимую единичку на оси ординат обозначают обычно буквой i, реже - j.

Складываются комплексные как векторы, а при умножении у них перемножаются модули и складываются аргументы (см. картинку). Можно перемножать и как многочлены с учетом i^2 = -1, но это не так наглядно.

Как появились в математике, зачем нужны - отдельные вопросы.

Натуральные - 1, 2, 3 и т. д.
Целые - натуральные, им противоположные и ноль
Рациональные - представимые в виде дроби целое/натуральное
Действительные - все на числовой прямой
Иррациональные - действительные, не являющиеся рациональными.

в вашем списке пропущены еще целые числа.

комплексные числа - очередное расширение понятия числа. рациональное число по сути - пара чисел (числитель, знаменатель) +правила сложения и умножения таких пар. Интуитивно представляется, как деление торта на равные части и взятие нескольких таких частей.

комплексное - пара действительных (вещественных чисел) + правила сложения и умножения. Интуитивно - как точка на плоскости.

комплексные интересны математикам тем. что многие мат. факты (формулы, теоремы, спецфункции) в комплексных оказываются проще. Например, синус и экспонента оказываются по сути одной функцией.

А кто мешал учиться в школе даже "гуманитарию"? Лень мозгов?
Если у тебя ВСЕ эти определения вызывают сложности, то назад в школу. Уж не знаю, в каком классе это учат, но в точно - в школе.

А ты нам, чувак, открой чё-нить гуманитарное. Баш на баш.

Вот представьте, что Вы описываете человека, военного например, или любого другого профессионала с заслугами, достижениями и прочими регалиями, которые можно выстроить в цепочку и представить окружающим, чтобы они могли оценить значимость этого человека. Если это понятно, то давайте выразим это в виде вектора. Чем больше достижений, тем длиннее вектор)))
А теперь представьте, что этот человек ещё и хороший спортсмен, имеет педагогические наклонности, которые притягивают к нему ребятню, с которой он этим спортом занимается, а ещё он умеет писать маслом, вышивать крестиком и делится книгами из своей библиотеки.
Вот такой в нашей первичной терминологии может быть назван "многовекторным"? Если согласны, то вот и принцип комплексности чисел - попытка описать одним числом то, что простирается в нескольких измерениях и графически изображается как сумма нескольких векторов.
Примерно так.
Может профессиональные математики напишут более удачно, подождём...

Всегда считалось, что не существует корня из отрицательных чисел. Однако в некоторых задачах, например нахождение корней кубических уравнений, в промежуточных вычислениях появляются корни из отрицательных чисел. Тогда решили обозначить корень из -1 буквой i и продолжить вычисления, в дальнейшем эти i перемножались между собой и получалась -1 и нормальные корни уравнений. Числа типа a+bi стали называть комплексными и нашли им разные способы применения.

Вот пособие, которое я когда-то написал:
https:// s.siteapi.org/73abdfcadb15b6e.ru/docs/fudu1htx5pw84sowgc0ck0s4ks00w8
(убрать пробел)
Можете проигнорировать все, кроме 3-го раздела, который так и называется: "Что такое числа".
Быть может, не совсем "простым языком", зато адекватно.

Хороший вопрос. Нужно открыть учебник по математике или справочник. там всё есть

математикам нужно было как-то сохранять знаки чисел которые перемножались
но не нашли ничего лучше и заделали эту дыру "комплексными числами"

комплексные и гиперкомплексные числа удобный способ описания положения и параметров объекта (точки) при наличии множества параметров. Например в эвклидовом пространстве int(s3)=x+y+z, в псевдо эвклидовом int (s4)=x+y+z-ict, в гиперкомплексном int(sn)=x+y+z+...-ict1-ict2-...
Это же можно использовать и гуманитарных науках. Вот только гуманитарии пытаются описать это словоблудием, а не символами.