Что такое комплексные числа? ! для чайников и простым языком пожалуйста!

Число, состоящие из действительной (RE) и мнимой (IM) частей Например, а + Jb, где J - мнимая единица ( корень квадратный из -1).
Вообще все довольно подробно описано в любом учебнике или справочнике по Высшей математике.

боюсь, в окошке не рассказать.

если в двух словах: обычные числа можно представить как точки на числовой прямой, комплексные - как точки на плоскости.

появились из желания решать уравнения разных степеней.

вспомните формулу корней квадратного уравнения: она выглядит как что-то плюс-минус корень из дискриминанта. Если дискриминант отрицательный - корень не существует.
Но можно заметить, что иногда полезно забыть, что он не существует, и работать с выражением, как обычно в надежде, что несуществующий корень потом сократится.

Например, теорема Безу для квадратного уравнения: свободный член - это произведение корней, коэфф. при х - сумма корней с минусом. Пробуем проверить - работает! И в произведении и в полусумме корней проклятый корень из отрицательного дискриминанта пропадает.

Еще забавнее с кубическими уравнениями. Там надо сначала решить вспомогательное уравнение, потом подставить в формулу Кардано. Ну так вот, если у уравнения есть все 3 корня, то вспомогательное получается "плохим" - с корнем из отрицательного числа! Но есть закрыть глаза на то, что его корни не существуют и подставить в формулу - получится правильный ответ.

Это навело на мысль, что можно разрешить использовать такие "плохие" числа, придать им понятный смысл.

Итог интересен. Комплексные числа оказались очень полезными, в них многие уравнения становятся проще, многие теоремы - тоже проще и понятнее, от них можно брать известные функции (типа синусов или экспоненты) , причем есть теоремка с доказательством в пару строк о том, что все формулы, которые были верны для хороших действительных функций (а в школе учат только такие) верны и для комплексных.

Кстати, можно идти и дальше - к числам, представляющим точки в 4-мерном или 8-мерном пространстве.
Такие 4-хмерные числа называются кватернионами, в них оказалось очень удобно считать повороты в пространстве, за что их полюбили программисты, пишущие трехмерную графику.

Ты знаешь, как действительное число изобразить на числовой оси - прямой?
Точно такое же изображение числа можно ввести на плоскости - комплексное число. Только вводят другой вид скалярного произведения векторов. Например, для радиус векторов, задающих эти числа.