Для чего нужны комплексные числа?

Практически всё их употребление в реальной жизни обусловлено связью экспоненциальной и тригонометрических функций через них. Т е многие виды уравнений, встречающихся на практике получают общие решения через них. А чтобы пользоваться таким решением на практике там уже надо будет посмотреть, где это общее решение обращает мнимые части в 0 и оно опять станет действительным.

Это наиболее часто применяемый вид чисел в электро- и радиотехнике. Его использование очень упрощает вычисления, как минимум там где встречаются колебательные процессы. .

А остальные числа для чего нужны?
Считать, ёпть.

Грубо говоря, для того, чтобы любые алгебраические уравнения имели корни. Что дает возможность развить мощнейшие математические теории, помогающие, к примеру, решать дифференциальные уравнения.

Для того, чтобы связать понятия полной, активной, реактивной мощностей и коэффициента мощности, удобно обратиться к теории комплексных чисел. Можно считать, что мощность в цепи переменного тока выражается комплексным числом таким, что активная мощность является его действительной частью, реактивная мощность — мнимой частью, полная мощность — модулем, а угол \varphi (сдвиг фаз) — аргументом

К написанному выше можно еще добавить геометрическую интерпретацию.
Комплексные числа - инструмент для описания движения (вращения) плоскости.
Вообще-то говоря, именно это и позволяет решать вышеперечисленные задачи.

P.S. А можно шагнуть чуть дальше - в гиперкомплексные числа - они описывают уже движение пространства. Но это уже совсем другая история...

Комплексные числа нужны для математического описания реалий электродинамической жизни.

При решении кубического уравнения оказалось что без действий над мнимыми числами нельзя получить действительный корень.
например уравнение
x^3=px+q
можно представить выражением
x= ((u)^1/3)+((v)^1/3)
u и v - решение системы. u +v=q ;; u*v =(p/3)*3
Есть правило Тартальи.
так уравнение
x^3=15x+4
имеет корень x =4 но система u+v =4 ; u*v=125
имеет комплексные корни
u = 2+11i v= 2-11i или наоборот.
В итоге мы получаем действительные корни через мнимые числа.
2+ 11 I + 2 - 11i=4
а (2+11i)(2-11i)= 4 - 121 i^2= 4 -121*(-1)= 125.
приведу ещё аналогию..
зачем нужны корни?
сумма каких двух чисел равно 10 а произведения 40?.
числа 5+ (15)^1/2 и 5- (15)^1/2
в самом деле 5 +5 =10 ;; (5+ (15)^1/2)(5- (15)^1/2)=25+15 =40