Алгебра | Проблема расширения множества решений исходного уравнения x = 1 после равносильных преобразований:

ничо не понятно, но очень интересно.

есть уравнение в виде:
(выражение₁) * (выражение₂) = (выражение₂)
возникает естественное желание на (выражение₂) обе части сократить.
при этом надо помнить, что (выражение₂) само может быть равно нулю, то есть, уравнение выражение₂ = 0 даст решение, обращающее исходное уравнение в верное равенство.
поэтому исходное уравнение распадается в пару систем:
{выражение₁ = 1
{выражение₂ ≠ 0
и
{выражение₁ = пофиг чему, главное, чтоб чему-нибудь
{выражение₂ = 0
решение исходного уравнения является объединением множеств решений этих двух систем.

в нашем случае:
I)
x (x - 1) = x - 1
распадается на две системы:
{x = 1
{x - 1 ≠ 0
и
{x - 1 = 0
решаем, получаем, что первая система несовместна, а во второй есть решение x = 1
значит, решение исходного уравнения: x = 1

II)
x (x - 2) = x - 2
распадается на две системы:
{x = 1
{x - 2 ≠ 0
и
{x - 2 = 0
первая система имеет решение x = 1, вторая имеет решение x = 2
значит, решение исходного уравнения: x = 1 или x = 2

с умножением же ситуация ещё хлеще.

пусть есть уравнение в виде:
выражение₁ = 1
и нам потребовалось для удобства умножить обе части на (выражение₂)
тут опять может расшириться множество корней, поэтому все корни уравнения
выражение₂ = 0
потребуется проверить на предмет, являются ли они корнями исходного уравнения.

например, решаем уравнение:
x² + x + 1 = 1
умножаем обе части на (x-1):
(x² + x + 1) (x - 1) = x - 1
x³ - 1 = x - 1
x³ = x
x = -1, 0, 1
но при этом умножении мы расширили множество корней на x = 1, поэтому его надо проверить:
1² + 1 + 1 ≠ 1
и остаётся два корня: x = -1 или x = 0