Одному Х лет, другому Y лет. ХY + X + Y = 34. Сколько лет каждому? Как решить, кроме как решением этого уравнения?

если х и у могут принимать только целые значения, то есть это диофантово уравнение. вот его полное решение. выразим х из равенства ху+х+у=34, х=(34-у) /(у+1)=(34+34у-34у-у) /(у+1)=34-35у/(у+1) (1). х будет целым и положительным если 35у/(у+1) будет целым и меньше 34. очевидно что у/(у+1) не будет целым не при каких у, а 35/(у+1)=1*5*7/(у+1) будет целым только при (у+1)=1, (у+1)=5, (у+1)=7 или (у+1)=35, следовательно у1=4, у2=6. подставляя в (1) получаем х1=6, х2=4. только эти два симметричных решения удовлетворяют условиям. при (у+1)=1, у=0, что не имеет смысла. а при (у+1)=35, у=34 получаем х=0, что так же не имеет смысла.

Если в натуральных числах, то 4 и 6. Если допустимы любые положительные числа, то решений бесконечно много.
Потому что y=(34-x)/(x+1).

еще 0, 34 или 34, 0

перебор-от маленький, и Х и Y - четные (иначе левая часть нечетная). еще положим, что x <= y, решения-то все симметричны

значит перебираем X = 0, 2, 4...:
при х=0 - очевидно y=34
при х=2 у=2 - мало, 4,6,8,10 - мало, 12 - много
при х =4 y=4 - мало, 6 - решение, дальше - много
при х =6 y=6 - сразу много. Все

можно, конечно, вспомнить, как решают диофанотвы уравнения, но быстрее не будет

Извините, как ни решай - это будет решение данного уравнения, поскольку кроме уравнения этого нам ничего не известно (ограничение типа "возраст - целое число" считаем частью уравнения).

По поводу решения см. "Диофантовы уравнения"