y=3-x^2 и y=2x
Вpоде задача пpостая, а я не могу понять, как это пpоисходит.
Если я вычислю интеграл пеpвой функции с пределами интегрирования, отмеченными синим пунктиром [-3;1], то какую площадь я найду? Оранжевую? А из неё не будет вычетаться площадь голубого цвета под осью у? Кроме того, как найти площадь голубого цвета? Или плозадь под осью вычисляется как-то по-особому? Объясните, пожалуйста, подpобно, как это pаботает?
Ты на ложном пути. Проинтегрируй параболу у= 3-х^2+6 (а не заданную у= 3-х^2 !) от х= -3 до х= 1. Получишь площадь фигуры, ограниченной сверху параболой, снизу прямой у= -6. а по бокам прямыми х= -3 и х= 1. Вычти из неё площадь БОЛЬШОГО прямоугольного треугольника (вертикальный катет проходит через х= 1, длиной 2+6= 8; горизонтальный катет проходит через у= -6, длиной 3+1= 4; ну, гипотенуза - наклонная прямая у= 2х). Это последняя площадь равна 1/2*4*8= 16.
Синяя и жёлтая площади по бокам теперь тебе вовсе не нужны.
площадь - это двойной интеграл по области.
сначала нужно определить, какие размеры вашей области.
например, у вас она изменяется по х от х1 до х2
а по y - между двумя кривыми f1(x) и f2(x).
тогда площадь будет равна двойному интегралу от dydx, в котором наружный изменяется от от х1 до х2, а внутренний от f1(x) до f2(x).
только нужно аккуратнее смотреть границы х1, х2.
когда вы считаете интеграл от х1 до х2 от функции, например, f1(x)>0, то вы находите площадь между кривыми y=0 и y= f1(x).
а что вы там на рисунке своем с цветными линиями ищите, не очень понятно.
**
"Если я вычислю интеграл пеpвой функции с пределами интегрирования, отмеченными синим пунктиром [-3;1], то какую площадь я найду?" -
вы найдете разность между площадями выше оси x и ниже ее (разность между желтой и голубой вашими областями)
1) По 1-ому уравнению находим: при х= -3 ордината у1= -6.
2) Рассматриваем интеграл функции y= 3-х^2-у1= 9-x^2 от x= -3 до x= 1. Получаем 22/3.
3) Рассчитываем площадь упомянутого треугольника. Получаем 16.
4) Вычитываем второе из первого. ОТВЕТ: 26 2/3-6= 10 2/3.
Интегрирование 1-го уравнения от -3 до +1 даёт 2 2/3 и на графике соответствует пл. МСВНМ - пл. АКМА (полная жёлтая минус синяя).
Интегрирование 2-го уравнения в тех же пределах даёт -8 и соответствует пл. ОВНО - пл. ОАКО.
Разность второго из первого 2 2/3-(-8)= 10 2/3 и есть ответ (розовая площадь).