Площадь фигуры без интеграла

Площадь сегмента параболы, ограниченного параболой и прямой (где ось параболы параллельна Oy), найти можно легко:
Пусть y = f(x) уравнение параболы, y = g(x) - уравнение прямой.
Тогда +/-S = (2/3)* (x2 - x1) * (f(x0)-g(x0)), где x1 и x2 - корни уравнения f(x) - g(x) = 0, x0 - среднее арифметическое этих корней.

Почему: догадаться-то легко, а формально расписывать долго, проще замену переменных провести и якобиан преобразования найти, но не буду, т. к. это ход мыслей не покажет.

Покажем лучше ход мыслей: аффинным преобразованием сегмент параболы можно привести к "каноническому" сегменту, ограниченному кривыми y = x^2 и y = 1.

Это аффинное преобразование можно представить в виде композиции параллельного переноса, линейной 2x2 жордановой клетки, сохраняющей начало координат, ось Oy и разворачивающей прямую, ограничивающую сегмент, горизонтально, и двух сжатий вдоль осей. Из этих преобразований только сжатия меняют площадь, они же меняют расстояние между корнями и значения f(x0) - g(x0) в коэффициенты сжатия раз.

(1,5 - 1/3) + (2,5 - 1/3) + (2,5 - 4/3) = 1,5+2,5+2,5 - 2 = 4,5
Когда приходится много проверять школьных примеров на параболу, то применяю именно этот способ. Надо только доказать, что парабола "отрезает" от квадратика третью часть.

Воспользовавшись чертежом Владимира Тугеуса, вычисляем площадь вписанного в сегмент треугольника с основанием 2 и высотой 3.
S1=2*3/2=3
По Архимеду площадь вашего сегмента
S=4S1/3=4,5