Практическая область применения тройного интеграла?

Любое суммирование по объему приводит к тройному интегрированию.

Навскидку -- определение массы, заключенной внутри объема, при переменной плотности того, что в этом объеме заключено... Ну и моменты инерции...

ну, про всякие очевидные случаи рассказали, я упомяну один неочевидный.

есть такой интересный класс задач, как задачи переноса. например, рассчитать поле нейтронов в ядерном реакторе или детектируемую с земли или со спутника интенсивность солнечного излучения, прошедшего через атмосферу с примесями. там как раз возникает интегральное уравнение вида
ф=Kф+f
с интегральным оператором (тройным интегралом по объему)
Kф = ∭ K(x', x) ф (x') dx'
при некоторых условиях на ядро K(x', x) этого оператора решение представимо в виде ряда Неймана
ф = ∑ Kⁿ f
то есть, чтобы получить решение, нужно насчитать дофига тройных интегралов.

как это делается, вопрос другой (стат. моделирование или детерминированные алгоритмы), но то, что за эту ботву в своё время выдавали госпремии, показывает её практическую важность, кмк.

p.s. думаю, не погрешу против истины, если скажу, что любая задача, в которой исследуемая величина испытывает влияние каждой точки некого объема, приводит к тройным интегралам.

Первое, что приходит в голову: надо вам посчитать динамику некого механизма, в котором есть вращение. Вращается в нем деталь известной формы, параметры для которой вы хотите подобрать. Для описания динамики вы будете искать или осевой момент инерции, или вообще тензор инерции, придется считать тройой интеграл, чтобы спроектировать механизм с нужными динамическими параметрами. Даже если за вас это будет делать программа, все равно нужно ориентироваться, что примерно и как будет меняться, если вы начнете менять тот или иной параметр.

Нахождение объема и массы жидкостей, (горючего, например), в танках и цистернах большой ёмкости. Там внутри распорки всякие. Объем, приходящийся на жидкость, считать непросто.