зачем нужен интеграл? в чем его практическое применение? зачем нужна производная?

в очень многих задачах физики надо найти сумму очень большого количества очень маленьких величин, в идеале бесконечного числа бесконечно малых величин. такой подсчет очень трудоемкий, но оказывается если известен закон по которому находится каждая величина (задана функция) , то во многих случаях задача сильно упрощается, если воспользоваться специальными правилами - правилами интегрирования. искомая сумма и называется интегралом.
в других, не менее многочисленных задачах, необходимо знать как изменяется функция при незначительном, в идеале бесконечно малом изменении аргумента. такие задачи легко решаются при помощи производной.

Во-первых - это просто красиво. Чисто математически.
Во-вторых, когда мне известно распределение примеси по глубине полупроводника (концентрация) , а для расчёта электрического потенциала структуры мне нужна общая доза этой примеси, то мне как раз приходится считать интеграл от концентрации по глубине. Вполне себе определённый. Когда мне известно распределение плотности тока, а знать нужно весь ток, - мне приходится считать интеграл от плотности по площади. Когда известно распределение освещённости по площади ПЗС-приёмника, а измеряется общий фототок, то он пропорционален интегралу от освещённости. А если эта освещённость ещё и со временм изменяется, то надо считать и интеграл по времени накопления.
И кучу таких примеров может привести любой инженер, который чё-то путное делает.

С производной то же самое. Куды ж без неё-то...

Интеграл есть обобщение понятия суммы. Отсюда вытекает его смыл как площади, объема, причем далеко не только тех фигур, которые мы можем нарисовать. С помощью интеграла (Римана, я не говорю уже об интеграле Лебега или Стилтьеса) можно измерять площади и объемы в общем смысле совершенно абстрактных фигур, таких как N-мерные шары, кубы и т д. Так же он имеет смысл работы, интеграл Стилтьеса имеет широкие приложения в теории вероятностей и матем статистике а так же в вариационном исчислении.

Первоначальное практическое применения интеграла - нахождение площади. Ведь если ты найдешь интеграл для некой функции на неком промежутке х1 х2. то ты найдешь площадь криволинейной трапеции которая будет ограничена прямыми х=х1, х=х2 по бокам, оссью Ох и самой функцией сверху и снизу.
Производная применятся для анализа все тех же функций. Она это одна из основ матана. При помощи производной находять касательные к графику, знак его монотонности на промежутке, кривизну и прочие.

Тут не совсем вменяемые люди отвечают. На такой вопрос мне одноклассник дал вменяемый ответ. Интеграл можно применить для быстрого решения следующей задачи. Машина ехала от А до Б вся дистанция допустим 200 км.. Весь путь условно она шла с тремя скоростями, например: 40-50-60. и такое-то время каждый из трех участков пути. Вопрос: какова средняя скорость движения от А до Б. На уровне начальной школы такую задачу можно решить вычислив среднее арифметическое, но это будет дольше, чем с помощью интеграла. Это мне объясняли по телефону, без бумаги. Все ясно и понятно, в отличие от школьных дебилов-учителей по математике.