Зачем нужна производная?

ну, в принципе, да, производная выросла из задач механики, так что неудивительно, что при её упоминании на ум сразу приходят скорости и ускорения. тем более, Ньютон со своими флюксиями и флюентами...

но лично мне удобнее представлять производную в терминах приращений (ближе к Лейбницу ^_^). по оси х не обязательно же должно быть время. например, зависимость внутричерепного давления от индекса массы тела или износ двигателя в зависимости от температуры окружающей среды. тут о скоростях говорить как-то не приходится. тут скорее вопрос надо ставить так: вот находится наша система в каком-то состоянии. как сильно она изменится, если это состояние чуть-чуть "пошевелить"?

на этом, можно сказать, зиждятся разнообразные задачи оптимизации. простейшая - это как смастерить из листочка бумаги коробку наибольшего объема. или минимизировать время путешествия по пересеченной местности...

есть ещё приближенные вычисления - когда вычисление целевой функции заменяется её линеаризованным приближением, например, (1+x)^n ~ 1 + nx, или sin x ~ x, или 1 / sqrt(1 - v2 / c2) ~ 1 + v^2 / (2 c^2)

есть ещё куча всего. но, так или иначе, при слове "производная" в голове возникает примерно такая картинка:

В электротехнике, к примеру - ток через конденсатор пропорционален производной напряжения по времени, как и напряжение на катушке индуктивности - производной тока по времени и т. д. Если подумать, производные и интегралы там на каждом шагу.

Например, конструкторская спецификация может быть общей, а может быть дифференцированной. А изделие может быть производным от базового. Там ещё точку ставили.