Естественные науки

производная от g(x) = f(x,f(x))

вот как такое решить?)

Пусть y(х) является функцией от x, и f(х, y) функция двух переменных. Обозначим производную у (х) по х как ух, производная f относительно первой переменной и вычисляется в точке (х, y(x)) как fx, и производная f относительно второй переменной и вычисляется в точке (х, y(x)) как fy. Напишите, только с точки зрения ух, fx и fy, (общую) производной функции g(Х) =f(х, y(х)) относительно x.

Заранее спасибо
Сафин Ирназар
Сафин Ирназар
201
Внимание, фокус!
Пусть f(x, y) = sgn(x) * (|x| + |y| - max(|x|, |y|))
Здесь sgn - сигнум, sgn(x) = 1 при x > 0, sgn(x) = -1 при x < 0 и sgn(x) = 0 при x = 0
y(x) = x
g(x) = f(x, x)
График f ниже, она дифференцируема в нуле по всем направлениям, и имеет в точке (0, 0) нулевые частные производные.

Попробуем найти производную g в нуле по определению, ниже в пределах h --> 0:
lim(f(h, h) - f(0, 0)) / h = lim (sgn(h)*|h|) / h = lim(h/h) = 1

Теперь попробуем по формулам:
f'_x = 0, f'_y (0, 0) = 0 => по формулам получится 0.

Мораль: если хотите пользоваться готовыми формулами, а не просто определением, наложите ограничения на дифференцируемость f по совокупности переменных! Ну и на дифференцируемость y(x).
И лучше явно впердольте в формулу градиент, а не просто частные производные.
Светлана ******
Светлана ******
76 843
Лучший ответ
Under-Pro =) Это содержательно, но явно превышает уровень вопроса.
g(Х) =f(х, y(х))

dg/dx=f '_x+(f '_y)*(y '_x)

f '_x означает частную производную от f по x
f '_y означает частную производную от f по y
U=
Under-Pro =)
85 431
Алексейн Спицын А в вопросе не указано, что f дифференцируема по совокупности переменных/по Фреше/имеет градиент: -)
Ну, чисто из определения производной. Составляете конечную разность,
[f(x+h, y(x+h)) - f(x, y(x))] / h,
и преобразовывате её в удобоваримый вид:
[f(x+h, y(x+h)) - f(x, y(x))] / h =
[f(x+h, y(x+h)) - f(x, y(x+h)) + f(x, y(x+h)) - f(x, y(x))] / h =
[f(x+h, y(x+h)) - f(x, y(x+h))] / h + [f(x, y(x+h)) - f(x, y(x))] / h =
[f(x+h, y(x+h)) - f(x, y(x+h))] / h + [f(x, y(x+h)) - f(x, y(x))] / (y(x+h) - y(x)) * (y(x+h) - y(x)) / h
дальше устремляете h к нулю и получаете:
g'(x) = f_x (x, y(x)) + f_y (x, y(x)) * y'(x)
Оксана Боева
Оксана Боева
24 825
Сафин Ирназар скажите, вот строка: [f(x+h, y(x+h)) - f(x, y(x+h))] / h + [f(x, y(x+h)) - f(x, y(x))] / (y(x+h) - y(x)) * (y(x+h) - y(x)) / h
Откуда берется?
Светлана ****** А вы неявно непрерывность частных производных использовали в последней строчке.

Похожие вопросы