Как грамотно доказать, что сначала f(x) все время будет больше, чем g(x), а затем наоборот g(x) будет больше, чем f(x)

Давайте просто посчитаем чему равно f(x) - g(x) :))

v(x) = f(x) - g(x) = 9/(10+x)² - 1/x² = (9x² - (10+x)²)/(10x + x²)² =
= (8x² - 20x - 100)/(10x + x²)²

результат деления может быть отрицательным только если или числитель или знаменатель отрицателен. Знаменатель у нас возведён в квадрат, потому он всегда положителен. Осталось узнать когда числитель является отрицательным, а когда положительным

8x² - 20x - 100 = 0;
2x² - 5x - 25 = 0;
D = 25 + 200 = 225
x = (5 ± √225)/4 = (5 ± 15)/4
x₁ = -2.5
x₂ = 5

а ещё у нас есть 2 точки, в которых функция прервётся (когда знаменатель равен нулю) это точки
x₃ = -10
x₄ = 0

рисуем прямую интервалов, отмечаем указанные точки и смотрим на каких интервалах функция принимает отрицательные значения, а на каких положительные.

Ну тут я рисовать не могу, да и интервалы итак очевидны, учитывая что это парабола направленная ветвями вверх :) функция будет отрицательна при -2.5 < x < 5.

Следовательно Ваше утверждение неверно, потому что g(x) больше f(x) только на интервале (-2.5 < x < 5), а не всегда, начиная с какой-то точки. Например при x=10 функция f(x) снова станет больше.

Проверим:
f(1) = 9/(10+1)² = 9/121 = 0.074
g(1) = 1/1² = 1

f(10) = 9/(10+10)² = 9/400 = 0.0225
g(10) = 1/10² = 1/100 = 0.01

Как видим я прав, потому что при x=1, g(x) больше, а при x=10, g(x) уже снова меньше :)

о чем речь ?