Как найти коэффициенты функции f(x)= a*(1/x^b) по трем известным точкам? Так, что бы это можно было запилить программно.

Метод наименьших квадратов и аппроскимацию гуглите.

Метод наименьших квадратов в каком-то виде.

Первое приближение можно взять как у Сергея Червякова, дальше методом Левенберга -Маркуадта.

Метод наименьших квадратов солиднее и скорее всего точнее. Но если исходить из "метода С. Червякова", то нужно исходить из того, что точек не 2, а 3. Тогда следует коэффициенты определить для 3-х комбинаций точек (1 и 2, 1 и 3, 2 и 3) и найти их средние значения:
b1= (lgy2-lgy1)/(lgx1-lgx2), a1= y1*x1^b1; b2= (lgy3-lgy1)/(lgx1-lgx3), a2= y1*x1^b2; b3= (lgy3-lgy2)/(lgx2-lgx3), a3= y2*x2^b3. a= (a1+a2+a3)/3, b= (b1+b2+b3)/3.

А решение по методу наименьших квадратов несравненно легче, чем предлагает Кар...

Здесь есть два варианта, зависит от точного условия, от того, что требуется, потому что (судя по ответам) понимание нами вашей формулировки двоякое.

1) Если точно известно, что есть f(x)= a*(1/x^b)- функция, и
известны ТОЧНЫЕ координаты точек, через которые она проходит,
то, как правильно писал Сергей Червяков, ДОСТАТОЧНО двух точек.

Тогда система уравнений позволяет найти их.

2) Если же задача такая:
известно несколько точек,
нужно написать функцию (подобрать коэффициенты) вида f(x)= a*(1/x^b) так,
чтобы она "как можно ближе" проходила к указанным точкам (построить тренд),
то тогда используется метод наименьших квадратов.

Дело в том, что если точек более двух, то, скорее всего, найти коэффициенты подстановкой невозможно.

В этом случае берут данные точки
(х1,y1),
(x2,y2),
(x3,y3)

берут такие точки на графике функции
((х1, a/x1^b),
(x2,a/x2^b),
(x3,a/x3^b)

ищем отклонения от графика у данных точек
(у1-a/x1^b)
(у2-a/x2^b)
(у3,a/x3^b)

берем сумму их квадратов (чтоб нивелировать разницу в знаках)

(у1-a/x1^b)^2+ (у2-a/x2^b)^2+ (у3,a/x3^b)^2
получаем функцию двух переменных a и b, у которой ищем минимум.

...мой коэффициент восприятия вам не подойдёт...

Так как коэффициента два, то и точек достаточно две.
y1=a/x1^b; y2=a/x2^b

y1/y2=(x2/x1)^b ==> log(y1/y2)=b*log(x2/x1) ==> b=log(y1/y2)/log(x2/x1)
y1=a/x1^b ==> a=y1*x1^b; b из предыдущей строки

составить систему уравнений, подставив значения функции и аргумента точек