Почему функцию интегрирования пишут в такой форме: F(x) = ∫f(x)dx?

.

Левые части у Вас эквивалентны.
Такая запись является традиционной. Меньше писать символов. В математике и так встречаются очень перегруженные разными символами формулы.

.

А если Y = X/8, то Y тоже нужно на что-то делить? Или как?

То, о чем вы спрашиваете, - не уравнение, а определение первообразной функции (неопределенного интеграла). Тут нет равенства двух выражений, из которого требуется найти неизвестную величину, а значит, нет и уравнения. Вы же еще не забыли школьный курс алгебры? На всякий случай перечитайте, что такое уравнение (у нас это было, по-моему, в учебнике для 7-го класса). Теперь по сути вопроса. Да, интегрирование - операция, обратная дифференцированию. Поэтому то, что у вас написано в левой части, означает то же самое, что и F(x).Интеграл понимается как "бесконечная сумма" - сумма БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШОГО числа БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ слагаемых, а эти слагаемые и есть дифференциалы, и каждый из них имеет вид f(x)dx (т. е. подынтегрального выражения).

Справа у вас просто обозначение неопределенного интеграла. Неопределенный интеграл функции f(x) - это множество первообразных функции f(x). Если F(x) - какая-то первообразная функции f(x), то, строго говоря,
F(x) ∈ ∫f(x)dx

Но: есть теорема об общем виде первообразной для функции:
Если функции F1(x) и F2(x) - две первообразные функции f(x), то их разность равна некоторой постоянной, то есть F1(x) - F2(x) = C = const.
Т. е. если F(x) - первообразная функции f(x), то любую первообразную функции f(x) можно представить в виде F(x) + C, где C - некоторая константа.
Верно и обратное: если F(x) - первообразаня функиции f(x), то функция F(x) + const тоже является первообразной функции f(x).

Вот и пишут для краткости ∫f(x)dx = F(x) + C.
А за ту запись, которую вы показали (без константы), раньше в школе наказывали оценкой. Константу иногда опускают для краткости, но об этом неплохо бы явно сказать.

PS. А обозначения неопределенного и определенного интегралов слегка похожи, ну и ничего страшного - есть формула Ньютона-Лейбница, связывающая один с другим. Она же - "основная теорема анализа":-)