Зачем когда мы ищем интеграл функции надо писать "по dx" Что оно означает?

Давайте совсем на пальцАх... :)

Есть плоскость, на которой размечены координаты x и y. По этой плоскости проходит какая-то кривулина, форма которой определяется какой-то функцией. В этом случае интеграл этой функции -- это площадь под кривой. Но вот вопрос -- какая именно площадь? В задачках "для первого класса" обычно предполагается, что функция -- это зависимость у от x (y = f(x)), и отыскивается площадь фигуры, ограниченной кривой и осью x (это и есть "интеграл по dx"). При этом Вам абсолютно никто не запрещает переписать функцию как зависимость x от y (x = g(y)) и найти площадь фигуры, ограниченной кривой и осью y (это будет "интеграл по dy").

Интеграл - это, по сути, сумма элементарных кусочков. Делаем небольшое приращение какой-то переменной, складываем, ещё небольшое приращение... так вот, это указание приращаемой переменной. Если совсем уж на пальцах.

В формулу функции под интегралом может входить много букв - надо отличить ту букву, по которой интегрируют, вот и обозначают её с помощью d.

В школе ничего не значит. А вообще, нужно сначала освоить что такое дифференциал функции. Тогда станет понятно.

Формальное указание переменной интегрирования. Но этот формализм имеет смысл. Интегрирование - это же действие, обратное дифференцированию.

Ну вот, поскольку
y' = F(x)

или, как ещё производную расписывают,
dy/dx = F(x)

то можно расписать дифференциалы следующим образом
dy = F(x)dx

По определению интеграл по dy равен у
И, соответственно, интеграл F(x) по dx равен f(x)
такому, что
df(x)/dx = F(x)

Всё сходится...

Указание на переменную интегрирования.

неопределенный интеграл сие функция - первообразная, такая, дифференциал которой есть подынтегральное выражение. А в выражение дифференциала входит dx, т. е. элементарное приращение аргумента х (ну или какого либо другого). Так что интеграл та еще загогулина...