Доказательство свойства ограниченности тройного интеграла при ограниченности функции в пространственном теле

Если Вас устраивает первый ответ, просто не читайте.
Но я протестую против самой такой постановки вопроса.

Как следует из контекста Вашего вопроса, речь идет о собственном интеграле (Римана) по трехмерному ограниченному объему. По определению, это предел интегральных сумм. Он либо существует (а значит, равен конкретному числу) , либо не существует (не определен в принципе, функция неинтегрируема) . Опять же из контекста Вашего вопроса, Вас вторая ситуация не интересует.

Но: про число не говорят, что оно "ограничено". Это понятие применимо к функциям. Здесь же это нонсенс.

Уточните Ваш вопрос. Возможно, он звучал как-то иначе.

to Зеркало: Я думала об этом (о том, что вопрос мог звучать так) .
Но ограниченности функции недостаточно для существования конечного интеграла даже по ограниченному объему. Все наоборот, из существования такого интеграла следует ограниченность функции. Не вдаваясь в нюансы. Пример легко построить, основываясь на одномерном случае, некое подобие функции Дирихле.

В общем, слишком много нестыковок в одном флаконе)).

Составляем интегральную сумму. Так как функция ограничена, то

|f(xk,yk,zk)| <= C

Значит, модуль суммы не превосходит С*(сумму частей, на которые
разбито тело) . Сумма частей=объёму тела.

Итого, тройной интеграл по модулю не превосходит С*V, где V - объём тела.

2 Natalia хорошее дополнение. Я так думаю, что имелась в виду конечность интеграла.