свойство определённого интеграла

Пусть f - четна.
Наряду с интегралом от 0 до a от f(x) рассмотрим интеграл от (-a) до 0 от f(x). Их сумма, понятно, равна интегралу из левой части. Покажем, что интегралы по отрезкам [-a,0] и [0,a] совпадают. Отсюда будет следовать требуемое.
Интеграл от (-a) до 0 от f(x) dx = интеграл от (-a) до 0 от f(-x) dx, делаем замену x=-t, dx=-dt, пределы интегрирования тоже меняются - от a до 0, переставим в естественном порядке, от 0 до a, знак интеграла поменяется, получается = интеграл от 0 до a f(t) dt.
То есть интеграл по левой половине отрезка равен интегралу по правой. (Что очевидно графически) .

Для нечетной функции f(x) = - f(-x), поэтому, как выше, показывается, что интеграл по левой половине отрезка равен противоположному значению интеграла по правой его половине.

Правы Зеркало и Наталья. Косяк же у Хетага все-таки был. Потом, разве из интегрируемости функции на отрезке [a,b] вытекает ее интегрируемость на отрезке [-a, a]?

Верное решение чего? Тут никаких примеров нет, только правило. Правило верное. Убедиться в этом легко, если вспомнить определение интеграла и взять интегральные суммы на участках от [-a; 0] и [0; a]. Поскольку для чётной функции f(-x)=f(x), то заменив в формуле интегральной суммы для промежутка [0; a] x на -x, мы получим тот же результат, а пределы поменяются на промежуток [-a; 0]. Аналогично, если в формуле для интегральной суммы для нечётной функции заменить x на -x, то получится противоположный результат, а пределы поменяются точно так же. Поэтому в первом случае мы получаем удвоенную сумму, а во втором - ноль.

На интуитивном уровне это можно показать следующим образом. Что есть интеграл? Грубо говоря, это площадь под графиком, взятая со знаком +, если график над осью абсцисс и со знаком - -если под осью абсцисс. Для чётной функции график симметричен относительно оси Oy, т. е. все промежутки, где график лежит над осью абсцисс и где - под этой осью, абсолютно симметричны относительно оси Oy, значит, их площади равны и взяты с одним и тем же знаком. Для нечётной функции график тоже симметричен, но уже относительно начала координат. Здесь уже промежутки, где график лежит над осью абсцисс, симметричны промежуткам, где график лежит под осью абсцисс и наоборот. Здесь площади, опять же равны, но знаки перед ними противоположные, поэтому в сумме получается ноль.

Надеюсь понятно объяснил.

Надо из результата по верхнему пределу вычесть результат по нижнему пределу.
У четной функции эти значения одинаковы, и Вы получаете нуль.
А у нечетной функции - эти значения противоположны по знаку, и Вы получаете удвоенное значение.

Косяк как раз в том, что Вы правило написали, а выполнить не выполнили.

Когда требуется вычислить левую часть, правило говорит, что надо вычислять не левую часть, а правую !!!