Почему в формуле для интеграла стоит dx?

Ну, представьте себе, что вам нужно решить какую-нибудь задачу, которую обычно решают интегрированием. Например, нужно найти работу переменной силы на участке пути х.

Если бы сила была постоянная, то вы бы нашли работу просто: A = F·x. Но проблема в том, что сила по мере прохождения пути меняется по закону F = f(x). В этом случае приходится разбить путь на маленькие участки Δx и, предполагая, что на маленьком участке сила будет примерно постоянной, найти работу как сумму:

A = Σ f(x) Δx.

Осталось сделать последний шажок - взять Δx настолько малым, что оно практически стремится к нулю, а число шагов, на которое мы разбиваем путь, стремится к бесконечности. Такое бесконечно малое Δx в математике принято обозначать dx.

A = Σ f(x) dx.

Понятно, что просуммировать бесконечное количество слагаемых невозможно. Но это и не нужно. Всё интегральное исчисление основано на одном простом факте - сумму можно вычислить простой математической операцией, которая называется «нахождение первообразной» .

Так что интеграл A = ∫ f(x) dx. отличается от бесконечной суммы только тем, что греческая буква Σ заменена на аналогичную (хотя и несколько стилизованную) латинскую букву S.

Поскольку при взятии интеграла мы реально не прибегаем к бесконечному суммированию, символ dx ставится чисто формально, чтобы обозначить, по какой переменной идёт интегрирование.

С точки зрения физики здесь есть ещё один нюанс. Если вы запишете выражение A = ∫ f(x) без дифференциала, то размерность величин в правой и в левой частях будет разная: слева джоули, справа ньютоны. Так что по любому нужно умножать на некую величину, которая имеет размерность длины, т. е. на dx.

Потому что нахождение первообразной - это обратная операция по отношению к вычислению ДИФФЕРЕНЦИАЛА, а не к вычислению ПРОИЗВОДНОЙ. f(x)dx - это дифференциал от функции F(x)+C.

ПОЧЕМУ операцию нахождения неопределенного интеграла определили именно таким образом (а не как обратную операцию по отношению к взятию производной) - это уже другая история. Но если вы посмОтрите, например, на формулу интегрирования по частям или на формулу замены переменной в определенном интеграле, то, возможно, вам станет более понятно, почему принятое определение удобнее.

Первоначально буква d означала бесконечно малую величину. Лейбниц, кажется, так придумал.