Почему в формуле S=at^2/2 деление на 2? Откуда вообще такая формула? Почему не на 3 или 4, а именно на 2?

2 потому, что средняя скорость равноускоренного движения равна половине конечной.
Конечная = at
Значит, средняя = at/2
Путь = Vсредняя*t значит S=at/2*t или at^2/2

Потому что если нарисовать график зависимости скорости от времени при равноускореннном движении, то получится наклонная линия, и пройденный путь - это площадь по такой линией. Ну а форма тут - треугольник, или трапеция. В любом случае получается ПОЛОВИНА произведения высоты на основание (треугольник; нулевая начальная скорость), или на сумму оснований (трапеция, начальная скорость не равна нулю).

Потому что для определения пути нужна только половина максимальной скорости.

только забывшийся от страха может задать такой вопрос - двоечник, обыватель, пенсионер,...
на такое не способны школьник, студент, или аспирант - у них нет времени задуматься, да и запуганы они либо родительским ремнем, либо отчислением
учителя или чиновника за такой вопрос тупо уволят
а ученого заклюют обвинениями в лженауке, отлучат от кормушки

ВСЕ ПРОСТО
представь, тебе в руки лезет наследство, и всего то лишь нужно всячески восхвалять наследодателя
а если хвалой, вдобавок, можно качать деньги из государства?
вот именно так и устроена нынешняя наука
в физику деление на 2 внесли математики для совместного окучивания наследства

возьми учебник, например, ФИЗИКА Перышкина за 9-й клас, страница 29
ТАМ написано, что равноускоренное движение можно считать равномерным, а для этого надо ВСЕ делить на 2
t=t/2 a=a/2 g=g/2 v=v/2 s=s/2

РАЗВЕ РАВНОУСКОРЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ РАВНОМЕРНОЕ?
кстати, там же поясняется более дикая чушь, что равноускоренное движение всегда медленнее равномерного

ниже приложены графики - посмотрев их, думаю, сам поймешь каковы были средневековые представления о природе

но...
исчерпывающий ответ на вопрос приводит к выводу, что ...математический анализ, весь смысл которого в делении на 2, это средневековое надувательство, позволяющее грабить государственную казну

Графики с трапецией или треугольничком - это хорошо. Только не от шулера Петрова, у него своих детей нет, он хочет, чтобы и чужие дети тупыми росли.
У тебя равноускоренное движение на прямой, давай им везде ниже и ограничимся.

На несколько моментов внимание обращу:
1) когда у тебя трапеция первращается в треугольник, у тебя начальная или конечная скорость равна нулю. Во многих задачках конечная скорость равна нулю, а не начальная, а формула для пути или модуля перемещения остается та же.

2) Путь и модуль перемещения совпадают, если скорость не меняет знак.

3) Ну и средняя скорость при равноускоренном движении на прямой равна среднему арифметическому начальной и конечной. Например, бросаем камень вертикально вверх со скоростью 10 м/с, конечная скорость равна -10 м/с, средняя равна нулю, перемещение за время пути равно нулю (а путь не равен, путь равен сумме площадей треугольничков на графике)

это происходит общих из формул, определяющих, что такое ускорение.
ускорение а - это вторая производная по времени от перемещения S.
поэтому,
когда берем первый интеграл (от второй производной по времени от перемещения) получаем скорость движения =at
это при нулевых начальных значениях и если ускорение а - постоянное.

затем от at берем вторую производную по времени, также при нулевых начальных значениях. это и будет перемещение: S=at^2/2

определение скорости и ускорения с одной стронны и правила интегрирования с другой стороны
ускорение есть вторая производная по времени от уравнения движения
если движение равноускоренное т. е. ускорение константа
то два раза интегрируя икс с двумя точками =а и получим at^2/2 одним из членов

Перемещение при равноускоренном движении находится как площадь фигуры под графиком скорости. При нулевой начальной скорости фигура под графиком это треугольник с основанием t и высотой v (см. рисунок)
S=vt/2=at*t/2 =at²/2
Или разбив треугольник на маленькие прямоугольники со сторонами v и dt
Можно сложить (пронтегрировать) площади этих прямоугольников
S= ∫vdt =∫atdt=at²/2

Площадь трапеции: S=(a+b)/2*h. Прямоугольный " Треугольник- та-же трапеция, только "а"=0. S=(0+b)/2*h.
"Путаница" идёт от "at" и "V ". at=V, но ТОЛЬКО в случае, если начальная скорость=конечной! У "яблока...." нач. скорость=0. Конечная=9,8... Но "общая" скорость НЕ СРЕДНЯЯ! И НЕ at! Если 9,8*t, то получим S квадрата. Разделим пополам по диагонали- получим S треугольника. (или прямоугольника, т. е. движения с РАВНОМЕРНОЙ скоростью).
В любом движении скрыта энергия - "а". Ньютон назвал её "ускорением". Поиск "а" надо находить из СРЕДНЕЙ скорости. 9,8..-это НЕ средняя скорость!!. По этому, найденное ускорение будет НЕ правильным! Правильно: (0+9,8)/2/1. V ср. /t=a. "а" свободного падения=4,9 м/сек. сек. "средняя скорость и ускорение НЕ зависят от графика движения. Затраченная энергия будет неизменна". По ЭТОМУ все расчёты ПРОЩЕ делать из средней скорости. S/t=V ср. =at. at*t=S. V средняя*t=S. НЕ надо мудрить и вводить интегралы. Просто найдите среднюю скорость. Она и будет at.
at-это слабое звено в цепи формул на движение и механики. Оно сразу рвётся, и искажает результат. S,t,m можно измерить. Задача: найти F! F можно только рассчитать . Правильно найденное "а" поможет:
S/tt=F/m. (a 2S/tt НЕ равно F/m !) И- ВСЁ ! Ничего не рассчитать!
....рассчитать: камень весом 50 кг. перенесли на расстояние 100 м. за минуту. F=? Считаем: 100/3600=F/50. F=1,4 кг. м. /сек. (в секунду поднимали груз 1,4 кг. на один метр в высоту. Как, лошадь Д . Уатта...)
Если это механизм- то надо учитывать КПД.
..Автомобиль: m=1150 кг. макс. быстро разогнался до 100 км/ч за 18 сек. и проехал за это время 250 м. Какая мощность двигателя? КПД ДВС=16%. (ЛЮБОГО бензинового 4-х -тактного). Считаем:
250/324=F/1150. F=900 кг. м. /сек. это =12 л. с . ПРИ 100% КПД. При 16% мощность= 12*6,25=75 л. с. Теперь: задавай-те параметры и делай-те машину! Или ракету. (правда, я не знаю кпд двигателя, но могу его легко рассчитать, зная его "заводскую"-по тех. паспорту мощность). ..
Итого: S=att при ЛЮБОМ графике движения! a=S/tt при любом графике движения! "а" ..."яблока...." =4,9.. м/сек. сек. КПД ДВС =16%.
(при разгоне КПД дизеля МЕНЬШЕ бензина. При эксплуатации (по причине свойств солярки КПД может быть выше бензина).
F/m- это "ускорение". V ср. /t- это "изменение скорости". (так проще понять ).