Объясните, пожалуйста, простым языком, почему в формуле кинетической энергии скорость в квадрате, а не просто скорость.

Попробуем затормозить тело на одинарной и на двойной скорости за одно и то же время. На двойной скорости придётся тормозить с двойной силой. Но при этом и тормозной путь удвоится.

Следовательно работа по торможению, она же кинетическая энергия будет в 2*2=4 раза больше.

Это было объяснение с точки зрения классической механики. С точки зрения более близкой к истине волновой механики, тело с двойной скоростью имеет вдвое более длинный "кометный" хвост из гравитационного поля. Кинетическая энергия тела на самом деле является потенциальной энергией этого хвоста, подобного пружине. Эта энергия вдвое больше за счёт двойной силы вдвое вытянутой "пружины". И ещё вдвое больше за счёт двойного расстояния вытягивания "пружины"

Кинетическая энергия - это накопленная телом при разгоне энергия, или работа, совершенная для его разгона. Для постоянной силы:

dA=Fdx=Fvdt=dp/dt * vdt= vdp = vd(mv)

Вот при интегрировании (складывании кусочков) этой работы и получаются квадраты и все прочее, что тебя смущает. Можно искать в этом некий глубинный смысел, а можно принять как математически доказанный факт и успокоиться.

Потому что это результат интегрирования, как и любая энергия - Wc=CU^2/2, Wl=LI^2/2 и т. д. Видишь сходство? Дети не умеют в интегрирование, поэтому им объяснить не получится.

Распространённое заблуждение: "если кто-то не может что-то, что ему кажется изученным, объяснить простыми словами, чтобы его понял даже ребёнок - это значит, что он сам не до конца понимает, что изучил и как это работает"
Кстати. Фейнман советовал ПОПЫТАТЬСЯ объяснить ребёнку. Это не значит, что ребёнок сможет понять объяснение, но объясняющему такой подход полезен.
Объяснение выполняют на каком-то языке, который должны понимать оба, объясняющий и подвергаемый объяснению.
Энергия - нечто накапливаемое (и расходуемое), математически = "интегрирование" (смысл этого слова надо понять). Ну, а дальше чистая формальность.

По сути это объясняется тем, что при двукратном увеличении геометрической фигуры (в т. ч. прямоугольного треугольника) её площадь увеличивается в четыре раза.

имхо, вопрос не так уж наивен и является вариацией парадокса кинетической энергии:
https://ru.wikipedia.org/wiki/Парадокс_кинетической_энергии

действительно, пусть мы разогнались с 0 до 50 км/ч за литр бензина. перейдем в систему, где машина покоится, и газанём ещё разок. вроде как в этой новой системе будет опять с 0 до 50, но топлива почему-то потратится больше. парадокс.

разрешается он, если скрупулезно, как в бухгалтерии, посчитать, как распределяется энергия по системе "земля-движок-автомобиль", поскольку автомобиль толкает землю, так что та тоже какую-то энергию принимает, энергия зависит от скорости, скорость - от системы отсчёта и т. п.

если же на бытовом уровне: второй раз с 0 до 50 газануть не получится - двигатель уже работает, колёса вращаются, коленвал тоже бешено крутится, так что дополнительные метры в секунду будут даваться гораздо труднее...

Формулу кинетической энергии можно вывести из формулы работы.
A = FS,
где F=ma=mV/t
S = Vt/2, V/2 - средняя скорость при равноускоренном движении.
Получаем:
A = mV/t * Vt/2 = mtV^2/2t = mV^2/2 =Ek

Начнём с того, что для природы пространство и время - это вполне одинаковые вещи. Но так как природу исследуем мы, а не какой-то разум вне неё, то мы и переносим спектр своего восприятия на окружающую действительность, тем самым разделяя единое. Вот и получается, что пришлось вводить сразу две характеристики движения из-за разного восприятия свойств пространства и свойств времени (а энергия связана со свойством времени, импульс - со свойством пространства). Но хоть эти две характеристики и получились различными, они, тем не менее, являются компонентами единой характеристики и через неё находятся связанными между собой. Эту связь сложно описать, тем более вы сами просили не упоминать формулы, но в качестве «выжимки» из неё можно получить такое соотношение для размерностей всех этих величин, которое легко запомнить:
[энергия] * [время] = [импульс] * [длина]
Отсюда уже можно узреть, что энергия будет иметь размерность [импульс] * [скорость].

Интегрирования при рассмотрении физического смысла избегать не стоит, как и всех математических формул. Другое дело, что в каждой формуле надо видеть физику процесса. Точно тоже самое и с определённым интегрированием.

Да, это интеграл от импульса — того самого, кроме которого и энергии ничего другого в нашем пространстве нет вовсе. Они на пару и образуют "фазовое пространство", и при этом ничего общего друг с другом не имеющих. Это и позволяет, к примеру, сесть на Луну, не врезавшись в неё, как метеорит — силой мысли, владеющей физикой!

Потому что скорость из ниоткуда не берётся, тело нужно разогнать. Так вот скорость в квадрате - это ускорение.

Это результат фундаментального принципа: время однородно,
Поэтому лагранжиан не зависит от времени
Ландау + Лифшиц Теретическая физика, том 1 стр 25

Всратый кот весьма прав.
Вы ещё спросите: почему там всё делится пополам.
И дело даже не в умении интегрировать, а в понимании: почему и что именно надо интегрировать. И тут таки да, ребёнку не объяснить.