F''(x)=-C * F(x) подскажите, как это решить? С- константа

1) Воспользоваться линейностью уравнения.
С одной стороны, решение должно иметь две независимые константы интегрирования.
С другой стороны, линейная комбинация решений - тоже решение.
Поэтому общее решение представимо в виде:
F(x) = C1 F1(x) + C2 F2(x)
F1, F2 - любые нетривиальные и независимые решения (с ненулевым вронскианом). Искать вы их можете как угодно. Можете угадать. А можете, как учил Эйлер, поискать эти решения в виде:
F = exp(k x)
подставить F в таком виде в уравнение, и найти два разных значения k.
2) Воспользоваться тем, что уравнение не содержит x явно.
Тогда можно представить, что производная и вторая производная зависят от x через зависимость от F:
F'(x) = W(F(x)), тогда:
F''(x) = W'(F(x)) F'(x) = W'(F) W(F)
Уравнение примет вид:
W(F) W'(F) = - C F
Переменные разделятся:
W dW = - C F dF
сможете это дело проинтегрировать и выразить в явном виде W(F). Далее надо рассмотреть уравнение:
F'(x) = W(F)
Тут переменные тоже разделятся:
dF / W(F) = dx
и вы сможете проинтегрировать второй раз.
3) Воспользоваться однородностью уравнения.
Представить решение в виде:
F(x) = exp(S(x))
Подставить его в таком виде в уравнение, и получить уравнение для S:
S''(x) + S'(x)^2 = -C
Относительно S' это уравнение первого порядка, переменные разделяются:
d(S') / [C + (S')^2] = - dx
Сможете это проинтегрировать и выразить S'(x) в явном виде. Проинтегрируете его, получите в явном виде выражение для S(x).

y'' + Cy = 0
Это линейное однородное ОДУ с постоянными коэффициентами, характеристическое уравнение которого легко разрешимо в радикалах.
при C > 0 это уравнение гармонического осциллятора.

Проще всего решить его так: двумерное пространство решений Вы уже нашли методом подбора в школе и, по теореме Вронского, других частных решений у этого ОДУ нет)

Это непедагогично, зато очень даже логично: