Как найти коэффициенты функции ax^2 + bx +c если известна только вершина и точка пересечения!?

ax^2 + bx + c достигается смещением ax^2 по горизонтали и вертикали на некоторые значения.

Как мы знаем, что бы сместить график функции вверх, к ней просто нужно прибавить соответствующее число. например, что бы сместить ax^2 на m клеточек вверх, к ней надо прибавить m:
y = ax^2 + m

Что бы сместить функцию по горизонтали ВЛЕВО на n клеточек, нужно все x заменить на (x+n)
y = a(x+n)^2 + m

Мы знаем, что вершина нашей параболы находится в точке (1;-4), а должна находиться в точке (0;0) . Значит эту параболу сместили на 1 клеточку вправо (или на минус одну влево) и на 4 клеточки вниз (или минус 4 вверх). Так и запишем
y = a(x - 1)^2 - 4;

У нас есть координаты второй точки B, и мы можем подставить их в это уравнение, заменив x и y на соответствующие значения:
2 = a(0 - 1)^2 - 4
2 = a*1 - 4
a = 6

Теперь у нас есть все 3 значения: a, m и n, - значит мы можем наконец-то записать формулу функции:
y = 6(x - 1)^2 - 4

Раскрываем скобки, ведь нам нужно привести функцию к виду ax^2 + bx + c, что бы узнать коэффициенты^
y = 6x^2 - 6*2x + 6*1 - 4
y = 6x^2 - 12x + 2

Всё, готово :) a = 6; b = -12; c = 2

Это самый простой и не требующий особых знаний метод, какой мне только удалось вспомнить.

Т. е. формулу координат вершины тоже не знаешь?

Графиком этой функции является парабола, симметричная относительно вертикальной прямой, проходящей через вершину, т. е. относительно прямой x = 1.
Точка, симметричная точке B относительно этой прямой, имеет координаты (2, 2).
Мы нашли три точки на графике, теперь подставим их координаты в уравнение параболы.
a*0^2 + b*0 + c = 2
a*1^2 + b*1 + c = -4
a*2^2 + b*2 + c = 2

Т. е. a + b + c = -4, c = 2, 4a + 2b + c = 2, откуда получаем a = 6, b = -12.

для точки В имеем y0=A*0+B*0+c=2, отсюда c=2 (1). координаты вершины параболы равны x(A)=-b/2c (2), y(A)=-D/4a=(4ac-b^2)/4a=c-b^2/4a (3). решая совместно (2) и (3) получаем а=(с-у (А)) /х (А) ^2=(2+4)/1=6, b=-2(c-y(A))/x(A)=-(2*6)/1=-12. итак а=6, b=-12, с=2 и парабола имеет уравнение 6x^2-12x+2=0.